Четырёхугольник с длинами сторон $$a, b, c, d$$ таков, что внутрь него вписана окружность и вокруг него описана окружность. Найти расстояние между центрами обеих окружностей.

задан 23 Мар '13 17:48

изменен 23 Мар '13 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я просто напишу алгоритм нахождения $%OO_1,$% где $%O$% радиус вписанной окружности,а $%O_1,$% радиус описанной окружности.Пусть четырехугольник $%ABCD$% и вписанный в окружность и описанный около окружности.Тогда $%AB+CD=AD+BC,\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^0. $% Обозначим $%AB=b,BC=c,CD=d,DA=a,\angle A=\beta,\angle C=180^0-\beta.$% По формуле Герона для выпуклого четырехугольника $%S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd \cdot cos^2\frac{\angle A+\angle C}2}.$% Учитывая что $%p-a=c, p-b=d, p-c=a, p-d=b, \angle A+\angle C=180^0, $% получаем $%S=\sqrt{abcd}.$% По теореме косинусов из треугольников $%ABD$% и $%BDC,$% получаем $%BD^2=a^2+b^2-2abcos\beta, BD^2=c^2+d^2+2cdcos\beta.$% Отсюда приравнивая получаем $%cos\beta=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)} , BD=\sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}.$%

Далее $%S=S_{ABD}+S_{BDC}=\frac{1}2absin\beta+\frac{1}2cdsin\beta\Rightarrow sin\beta=2\frac{\sqrt{abcd}}{ab+cd}.$% Тогда по теореме синусов для треугольника $%ABD,$% $%R=AO_1=\frac{BD}{2sin\beta}=\frac{1}4\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{abcd}},$% а $%r=OH=\frac{2S}{P}=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}.$% Далее $%AH=r\cdot ctg\frac{\beta}2=r\frac{1+cos\beta}{sin\beta}=..., AE=\frac{a}2, HE=FO_1=|AE-AH|,$%

$%O_1E=\sqrt{AO_1^2-AE^2}=\sqrt{R^2-\frac{a^2}4}, OF=|OH-O_1E|=...$%

Наконец из треугольника $%OO_1F,$% по теореме Пифагора находим $%OO_1=\sqrt{OF^2+FO_1^2}.$%

alt text

ссылка

отвечен 24 Мар '13 0:18

изменен 24 Мар '13 0:44

Кажется опоздала.

(24 Мар '13 0:19) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим случай, когда четырёхугольник представляет собой дельтоид. Он состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, один из которых обозначим через $%ABC$%. Тогда $%AB=2R$%, точка $%O$% -- середина гипотенузы, а центр $%I$% вписанной в дельтоид окружности лежит на гипотенузе и находится на расстоянии $%r$% от обоих катетов.

Нас интересует расстояние $%OI=x$%. Опустим из $%I$% перпендикуляры $%ID$%, $%IE$% на стороны $%BC$%, $%AC$%. При этом возникают подобные треугольники $%AIE$%, $%IBD$%. Для первого из них отношение $%r/(R+x)$% есть синус угла при вершине $%A$%. Для второго рассмотрим отношение $%r/(R-x)$%, и это будет косинус того же самого угла. Следовательно, сумма квадратов этих величин равна $%1$%, откуда вытекает следующее равенство: $$\frac1{(R+x)^2}+\frac1{(R-x)^2}=\frac1{r^2}.$$ Из этого соотношения можно в явном виде выразить искомую величину $%x$%, которая равна $$x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}.$$

Это же равенство выполняется и в общем случае ввиду теоремы Понселе. Она утверждает, что если рассмотреть вписанный и описанный четырёхугольник, а затем выбрать произвольную точку на большой окружности, проводя последовательно касательные к малой окружности, то это всегда приводит к построению нового четырёхугольника: процесс завершается в той точке, откуда он был начат. Здесь сама возможность такой конструкции зависит только от соотношения между $%R$%, $%r$% и $%x$%, указанного выше, и оно служит необходимым и достаточным условием для этого. Следовательно, задача сводится к случаю дельтоида.

Подставляя выражения для $%R$% и $%r$% через стороны $%a,b,c,d$%, выписываем окончательный результат.

ссылка

отвечен 24 Мар '13 3:09

Несмотря на то, что я не кликнул Ваш ответ, я оценил широту Вашей эрудиции и выношу персональную благодарность. Теорему Понселе я поместил в поисковик (к сожалению (или - к стыду!), я о ней не знал) и увидел столько полезного! Боже! Сколько умных людей есть на свете! И это только мехмат! А у нас столько ВУЗов! Да-а-а... Огромен у нас потенциал, но, к сожалению, он, чаще всего, остаётся потенциалом. Кто в этом виноват? Никто - мы сами: не умея сорганизоваться,имея слабость внедренческого порядка, мы гордимся тем, что А. С. Попов - наш, братья Черепановы - наши, но, кроме нас, кто их знает?

(24 Мар '13 10:17) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Приведу схему решения задачи.

Некоторые факты:

1) Если четырехугольник со сторонами $%a, b,c,d$%, вписан в одну окружность и описан вокруг другой окружности, то его площадь вычисляется по формуле $%S=\sqrt{abcd}.$%

2) Радиус вписанной окружности в четырехугольнике $%r=\frac{2S}{a+b+c+d}=\frac{2\sqrt{abcd}}{a+b+c+d}$%.

3) Радиус описанной окружности в четырехугольнике $%R=\frac{\sqrt{(bc+ad)(ca+bd)(ab+cd)}}{4S}=\frac{\sqrt{(bc+ad)(ca+bd)(ab+cd)}}{4\sqrt{abcd}}.$%

alt text

Далее $%BD^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\alpha;BD^2=c^2+d^2+2cd\cdot cos\alpha.$% Из этих двух соотношений найдем $%cos\alpha,$% а затем $%ctg\frac{\alpha}{2}.$% Определяем $%AK, AN=DN=\frac{a}{2}.$% Из прямоугольного треугольника $%O_1O_2M( \angle M = 90^o,MO_2=|AN-AK|,O_1M=|\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}-r|)$% найдем $%O_1O_2-$% расстояние между центрами окружности.

ссылка

отвечен 23 Мар '13 21:57

изменен 24 Мар '13 9:01

Я не понял того, что здесь написано в конце. Через $%R$% ведь обозначен радиус описанной окружности, поэтому $%O_1M$% не равно модулю разности радиусов.

(23 Мар '13 23:50) falcao

@Anatoliy! Я сожалею, что Вы удаляете мои комментарии. Но - это Ваше право

(24 Мар '13 10:39) nikolaykruzh...

Откуда Вы это взяли? Я такими глупостями не занимаюсь. Если удаляю комментарии, то только свои. Возможно, это Ваше какое-то оправдание. Не нужно. Вы же взрослый человек! И как бы оценила эти Ваши проделки , упомянутая когда-то Вами бабушка.

(24 Мар '13 19:10) Anatoliy

И правда! Как я мог додуматься до такого! Вы же серьёзный человек. Так что не обижайтесь. Тот, кто удалил этот злосчастный комментарий, - да пусть его накажет Господь вечной мукой совести!.. Бабушку, извините, забыл начисто, поскольку никаких проделок не совершал.

(26 Мар '13 11:32) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×607

задан
23 Мар '13 17:48

показан
1367 раз

обновлен
26 Мар '13 11:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru