для функции f и всех неотрицательных x и y выполняется равенство f(root(x,4)) + f(root(y,4)) = f(root(x+y,4)). Также известно, что f(2) = 4. Найдите f(3)

задан 4 Фев 12:15

$%f(z) = kz^4$%...

(4 Фев 12:26) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём функцию $%g(x)=f(\sqrt[4]x)$%. По условию, $%g(x)+g(y)=g(x+y)$% для любых $%x,y\ge0$%. Нам дано, что $%g(16)=f(2)=4$%, и надо найти $%f(3)=g(81)$%.

Ясно, что функциональному уравнению относительно $%g$% удовлетворяют все линейные функции вида $%g(x)=kx$%, где $%k$% -- некоторый коэффициент. Однако, если не дано, что функция непрерывна, то $%g$% не обязана иметь такой вид (есть примеры "диких" функций), поэтому так рассуждать мы не будем.

Достаточно заметить, что $%g(x)+\cdots+g(x)=g(x+\cdots+x)$% для любого числа слагаемых. Иными словами, $%g(nx)=ng(x)$% для любого натурального $%n$% и действительного $%x\ge0$%. В частности, $%g(1)=\frac{g(16)}{16}=\frac14$%, и потому $%g(81)=81g(1)=\frac{81}4$%.

ссылка

отвечен 4 Фев 15:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×553

задан
4 Фев 12:15

показан
396 раз

обновлен
4 Фев 15:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru