У приведённого многочлена четвёртой степени ровно четыре различных корня, образующих геометрическую прогрессию. Коэффициент многочлена при x^3 равен 2, свободный член равен 25. Чему может быть равен коэффициент при x? Если возможных ответов несколько, укажите их в любом порядке через точку с запятой.

задан 4 Фев '18 15:04

10|600 символов нужно символов осталось
0

Многочлен имеет вид $%x^4+2x^3+ax^2+bx+25=(x-c)(x-cq)(x-cq^2)(x-cq^3)$%. Применим теорему Виета. Сумма корней равна $%c(1+q+q^2+q^3)=-2$%. Произведение равно $%c^4q^6=25$%. Из этой системы в принципе можно попытаться найти значения $%c$% и $%q$%, но уравнения получатся сложные. Поэтому применим ещё раз теорему Виета. Коэффициент при $%x$% (достаточно раскрыть скобки) здесь равен $%b=-c^3(q^6+q^5+q^4+q^3)=-c^3q^3(1+q+q^2+q^3)=2c^2q^3=\pm10$%.

Теперь надо понять, возможны ли эти значения коэффициента. Если $%c^2q^3=-5$%, то получается уравнение $%(1+q)^2(1+q^2)^2=\frac4{c^2}=-\frac{4q^3}5$%. Сравнивая значения при $%q=0$% и $%q=-1$%, заключаем, что оно имеет действительные корни, и отсюда следует, что коэффициент $%b=-10$% при $%x$% возможен. Если же $%c^2q^3=5$%, то получится уравнение $%5(1+q)^2(1+q^2)^2=4q^3$%. Если оно имеет действительные корни, то $%q > 0$%. Однако при этом условии, левая часть, очевидно, больше правой. Значит, здесь решений нет, и коэффициент $%b=10$% невозможен.

ссылка

отвечен 4 Фев '18 16:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×415
×76

задан
4 Фев '18 15:04

показан
766 раз

обновлен
4 Фев '18 16:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru