Сколько существует троек натуральных чисел (x, y, z), которые образуют арифметическую прогрессию, причем x < y < z, для которых числа xy+1, yz+1, xz+1 являются точными квадратами?

задан 4 Фев '18 19:37

возвращен 5 Фев '18 2:31

falcao's gravatar image


253k23650

Условие поменялось?...

(5 Фев '18 0:46) all_exist

Я вернул на место тот вопрос, на который я давал ответ. Это хорошая задача. Если есть другие варианты условия, то их надо обсуждать отдельно. Для случая, когда берутся попарные произведения, всё тривиально.

(5 Фев '18 2:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Таких троек бесконечно много. Докажем это.

Рассмотрим последовательность $%a_0=1$%, $%a_1=4$%, $%a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$% при $%n\ge0$%. Индукцией по $%n$% доказываем тождество $%a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+a_n^2=1$%. При $%n=0$% оно очевидно. Пусть для какого-то фиксированного значения $%n$% оно верно. Тогда для следующего значения получается $%a_{n+2}^2-4a_{n+1}a_{n+2}+a_{n+1}^2=(4a_{n+1}-a_n)^2-4a_{n+1}(4a_{n+1}-a_n)+a_{n+1}^2=$%

$%=16a_{n+1}^2-8a_na_{n+1}+a_n^2-16a_{n+1}^2+4a_na_{n+1}+a_{n+1}^2=a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+a_n^2=1$%.

Очевидно, что $%a_0 < a_1 < a_2 < \cdots$%, то есть наша последовательность возрастает. При каждом $%n\ge0$% рассмотрим числа $%x=a_n$%, $%y=2a_{n+1}$%, $%z=a_{n+2}$%. Они образуют арифметическую прогрессию ввиду рекуррентного соотношения из определения последовательности. Проверяем три условия насчёт точных квадратов: $%xy+1=2a_na_{n+1}+1=(a_{n+1}-a_n)^2$%, что равносильно только что доказанному по индукции тождеству. Далее, $%xz+1=a_na_{n+2}+1=a_n(4a_{n+1}-a_n)+1=a_{n+1}^2$% по той же причине, и $%yz+1=2a_{n+1}a_{n+2}+1=(a_{n+2}-a_{n+1})^2$% (то же, что и выше, с увеличенными на единицу индексами). Таким образом, троек из условия бесконечно много.

Вот для наглядности несколько первых троек: $%(1,8,15)$%, $%(4,30,56)$%, $%(15,112,229)$%, $%(56,418,780)$%, ... и так далее.

Можно попутно отметить, что такая последовательность уже встречалась в одной из задач на форуме. Требовалось найти число способов покрыть доминошками доску размером $%3\times(2n)$%. Ответом к этой задаче будет как раз $%a_n$%.

ссылка

отвечен 4 Фев '18 23:27

изменен 17 Июн 15:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879

задан
4 Фев '18 19:37

показан
394 раза

обновлен
17 Июн 15:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru