Привести примеры многочленов $%f(x),g(x),h(x)\in \mathbb Q[x]$% таких что $%\mathbb Q[x]/(f)$% поле, $%\mathbb Q[x]/(g)$% не поле, $%\mathbb Q[x]/(h)$% произведение двух полей.

Годятся ли $%f(x)=x,g(x)=x^2,h(x)=x(x-1)$%?

В последнем случае как доказывается что $%\mathbb Q[x]/(p(x)q(x))=\mathbb Q[x]/(p(x))\times \mathbb Q[x]/(q(x))$%?

задан 5 Фев '18 7:24

@Slater: да, всё это годится. Третий пример подходит и для второго пункта. Доказательство там простое: многочлену сопоставляем пару остатков. В данном случае -- от деления на x и x-1, то есть (f(0),f(1)). Ядро образуют те, которые делятся на p и на q. Когда они взаимно просты, это равносильно делимости на произведение. Сюръективность вытекает из аналога китайской теоремы об остатках. Здесь достаточно взять f(x)=a+x(b-a), чтобы получить пару (a,b).

(5 Фев '18 9:51) falcao

А можно напрямую китайскую теорему об остатках применить? Для этого вроде надо доказать, что $%(x)+(x-1)=\mathbb Q[x]$%. Почему это верно? Просто потому что $%1=x+(-1)(x-1)$%?

(5 Фев '18 21:36) Slater

@Slater: конечно, равенства x+(1-x)=1 достаточно. Но я про К.Т.О. сказал как бы для общей ситуации, а для рассматриваемого случая (совсем простого) я сразу указал, как доказывается сюръективность. То есть она видна здесь напрямую, без теоремы.

(5 Фев '18 21:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
5 Фев '18 7:24

показан
222 раза

обновлен
5 Фев '18 21:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru