При каких значениях а сумма различных корней уравнения alt text

задан 5 Фев '18 13:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Заметим, что $%\tan x+2\cos3x=\frac{\sin x+2\cos3x\cos x}{\cos x}=\frac{\sin x+\cos2x+\cos4x}{\cos x}$%, то есть в числителе появляется выражение из левой части уравнения. Если $%\sin x+\cos2x+\cos4x=0$% и $%\cos x\ne0$%, то мы имеем корень уравнения. Помимо них, уравнение может иметь корни, для которых $%\cos x=a$%, где $%a\ne0$%.

Для начала заметим, что если $%\cos x=0$%, то $%\cos2x=-1$% и $%\cos4x=1$%. Из этого следует, что $%\sin x+\cos2x+\cos4x=\sin x=\pm1\ne0$%. Следовательно, можно рассматривать уравнение $%\sin x+\cos2x+\cos4x=0$% без дополнительной оговорки; его решения на отрезке не зависит от значения $%a$%. Решать его в явной форме нет необходимости -- тем более, что это сводится к "плохому" уравнению 4-й степени. При желании, можно подсчитать число решений, но и в этом необходимости нет. Сумма рассматриваемых корней на отрезке всё равно будет фиксированной.

Рассмотрим теперь уравнение $%\cos x=a$% на отрезке, и посмотрим, как сумма его корней (если они есть) зависит от $%a$%. Надо учитывать, что эти новые корни не должны совпадать со старыми -- в противном случае их учитывать не надо.

Рассмотрим график косинуса на отрезке. Тут очень полезно смотреть на картинку, поэтому надо её нарисовать. На левом конце косинус равен $%-\frac12$%, а на правом $%\frac1{\sqrt2}$%. Будем пересекать этот график прямой $%y=a$% при разных $%a$%, следя за суммой корней. Проведём прямую $%y=-\frac12$%. Точек пересечения с графиком косинуса тут будет 7. Если значение $%a$% увеличивать, смещая прямую вверх, то первый корень (абсцисса первой точки пересечения) будет расти, а остальные 6 корней разбиваются на пары, где сумма парных элементов неизменна, что следует из соображений симметрии. Увеличивая таким образом сумму корней, мы дойдём до значения $%y=\frac1{\sqrt2}$%. Здесь также 7 корней, а при дальнейшем увеличении значения $%a$% самый последний корень потеряется, при неизменной сумме первых шести из них.

Также ясно, что при $%a < -\frac12$% происходит аналогичная потеря первого из корней, при неизменной сумме остальных. Из сказанного следует, что максимальная сумма корней уравнения $%\cos x=a$% достигается при $%a=\frac1{\sqrt2}$%, и только при этом значении. Осталось заметить, что $%\cos x=\frac1{\sqrt2}$% влечёт $%\cos2x=0$% и $%\cos4x=-1$%, поэтому $%\sin x+\cos2x+\cos4x=\pm\frac1{\sqrt2}-1\ne0$%, то есть все дополнительные 7 корней являются новыми, поэтому $%a=\frac1{\sqrt2}$% (и только это значение параметра) даёт максимальное значение суммы всех корней уравнения.

ссылка

отвечен 6 Фев '18 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
5 Фев '18 13:04

показан
596 раз

обновлен
6 Фев '18 0:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru