Как формально доказать $%F[x]/(x^2)\simeq F[x]/((x-1)^2)$%?

задан 5 Фев '18 21:42

Это тривиально: x -> x-1 есть автоморфизм кольца многочленов, при котором один идеал отображается на другой. В таких случаях никаких проверок не надо -- достаточно верно и точно указать причину рассматриваемого факта.

(5 Фев '18 21:56) falcao

Ну я скорее имел в виду подробности того, почему это отображение индуцирует изоморфизм факторколец. Я пробовал применить теорему о пропускании. Есть гомоморфизм $%F[x]\rightarrow F[x]\rightarrow F[x]/((x-1)^2), x\mapsto x-1\mapsto x-1 +(x-1)^2$%, и он пропускается через $%F[x]/I$% если $%I$% лежит в ядре. Ядро композиции вроде $%((x-1)^2)$%, но $%(x^2) $% там не содержится, и теорема не работает

(5 Фев '18 22:04) Slater

@Slater: есть простой общий факт. Его лучше рассматривать в "абстрактных" обозначениях. Пусть ф -- изоморфизм кольца R на кольцо R'. Идеал I кольца R отображается при ф на идеал I'=ф(I) кольца R'. То, что это так, можно проверить "побуквенно", но в этом я не вижу необходимости, так как при всяком изоморфизме получается "точная копия" объекта, и все существенные свойства при этом сохраняются. Смежный класс x+I при ф переходит в смежный класс x'+I' по I', где x'=ф(x). Это индуцирует биекцию множества R/I на R'/I'. Она является изоморфизмом колец, так как операции задаются известными формулами.

(5 Фев '18 23:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
5 Фев '18 21:42

показан
158 раз

обновлен
5 Фев '18 23:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru