Доказать что при если характеристика $%F$% не равна двум, то $%F[x]/(x^2)$% не изоморфно $%F[x]/(x^2-1)$%.

Второе кольцо изоморфно $%F\times F$% по китайской теореме об остатках: $%-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)=1\in F[x]$% (т.е. $%(x-1)+(x+1)=F[x]$%), и $%(x-1)\cap(x+1)=(x^2-1)$%.

$%F[x]/(x^2)$% примечательно тем, что там есть нильпотент $%\overline x$%. Видимо, в $%F\times F$% нет нильпотентов. Если $%(a,b)\in F^2$% и $%(a,b)^k=(a^k,b^k)=0$%, то $%a^k=b^k=0$%. Но почему нельзя подобрать конечную характеристику чтобы $%a^k=b^k=0$% в $%F$%?

задан 5 Фев '18 21:56

@Slater: всё верно, и доказательство именно такое. Последний вопрос странен, потому что поле не имеет делителей нуля (независимо от характеристики). Поэтому произведение ненулевых элементов поля также ненулевое. В частности, это относится к степеням. Тут если и надо что-то добавить, так это то, что показатели степени у a, b могут быть разными, и k равно максимуму.

(5 Фев '18 22:00) falcao

Я почему-то думал о $%a^k$% как о сумме. Тогда вопрос снимается. Только почему показатели у a и b могут быть разными? По определению $%(a,b)^k=(a^k,b^k)$% и по определению $%(a^k,b^k)=0$% если $%a^k=b^k=0$%

(5 Фев '18 22:07) Slater

@Slater: я имел в виду, что если у нас есть два нильпотентных элемента, то для одного, скажем, a^n=0, для другого b^m=0. Тогда при k=max(m,n) верно a^k=b^k=0. Такое часто приходится делать. Но здесь нильпотентов нет, и в доказательстве от противного сразу возникают уравнения с одним k, поэтому моё замечание не актуально.

(5 Фев '18 22:54) falcao
1

А правда что в $%F[x]/(x^2)$% нет идемпотентов? Если да, то почему? Так получается еще одно доказательство. В $%F^2$% идемпотенты есть (например, $%(1,0)$%)

(5 Фев '18 23:15) Slater

@Slater: элементы F[x]/(x^2) записываются в виде y=ax+b. При этом y^2=2abx+b^2. Если это идемпотент, то b^2=b, то есть b равно 0 или 1. Далее, a=2ab, откуда a=0. Поучились 0 и 1. Других идемпотентов нет. А в FxF их 4 штуки. То есть такие соображения проходят. Но с нильпотентами здесь проще.

(5 Фев '18 23:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,517

задан
5 Фев '18 21:56

показан
200 раз

обновлен
5 Фев '18 23:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru