Доказать что не существует предела функции комплексного переменного $$f(z)=\frac{z}{argz-2\pi}, \ z\to 0$$. Очевидно что вдоль любой прямой при z->0 предел 0, а вот вдоль чего он будет не нулевым?

задан 5 Фев '18 23:50

изменен 6 Фев '18 0:15

Здесь f(z) выражается через f(z), то есть не дана никакая функция. Кроме того, аргумент комплексного числа определён неоднозначно, поэтому надо указать, какое из его значений берётся.

(6 Фев '18 0:05) falcao

@falcao можно написать в полярных координатах, т.е будет r/(phi-2pi). Значение берется [0,3pi]

(6 Фев '18 0:07) Mathworld

@Mathworld, замечание @falcao касалось наличия буквы $%f$% в аргументе в знаменателе... видимо там просто $%\text{arg}\;z$% должно быть...

(6 Фев '18 0:14) all_exist

@all_exist Конечно, спасибо, исправил

(6 Фев '18 0:15) Mathworld
1

рассмотрите приближение по точкам единичной окружности с центром в точке $%z = -i$%... тогда знаменатель тоже будет стремится к нулю...

(6 Фев '18 0:20) all_exist

@Mathworld: если дана функция, то каждому z не равному 0 должно быть однозначно сопоставлено значение arg z по некоторому правилу. Указание на то, что значение берётся из [0,3п], не достаточно, так как однозначности при этом не будет.

(6 Фев '18 0:29) falcao

@all_exist не совсем понимаю, почему когда мы приближаем по точкам окружности argz->2pi ?

(6 Фев '18 0:34) Mathworld

@Mathworld, ну, в смысле по половине окружности, лежащей в четвёртой четверти...

(6 Фев '18 0:35) all_exist

@falcao однозначность будет при phi из [0,2pi), так ведь?

(6 Фев '18 0:37) Mathworld

@Mathworld: а это потому, что Вы "уклоняетесь" от уточнения способа выбора аргумента :) Ведь если его выбрать отрицательным, близким к нулю, то такого явления не возникнет.

Почему-то приходится долго убеждать, что сначала задача чётко и однозначно формулируется, а потом уже решается.

(6 Фев '18 0:37) falcao

@all_exist вроде понял, но почему аргумент стремится быстрее самого z? ведь, z->0 тоже

(6 Фев '18 0:39) Mathworld

@falcao на самом деле мне просто нужно было привести пример комплексной функции, предела у которой не существует, поэтому есть такие "косяки"

(6 Фев '18 0:47) Mathworld

@Mathworld: если для точек нижней полуплоскости аргумент выбирается от п до 2п (признания этого, наверное, можно добиться только "пыткой" инквизиции :)), то для точек окружности 4-й четверти, z=r(cos ф - i sin ф), где ф->0+ и arg z=2п-ф. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2+2y=0, то есть r=2sin ф ~ 2ф=-2(arg z-2п). Тогда f(z)->-2 по точкам окружности.

Неплохая, кстати, задача, если её с самого начала сформулировать как положено.

(6 Фев '18 0:49) falcao

@Mathworld, почему быстрее?... там предел минус двойке будет равен...

(6 Фев '18 0:49) all_exist

@falcao @all_exist Спасибо большое!

(6 Фев '18 0:51) Mathworld

@Mathworld: если на функцию не накладывать никаких ограничений, то пример можно взять почти любой. Типа, f(x+iy)=1 если x,y рациональны, и 0 в противном случае. То есть желательно сделать класс функций более узким, чтобы пример было построить труднее.

(6 Фев '18 0:56) falcao
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
5 Фев '18 23:50

показан
276 раз

обновлен
6 Фев '18 0:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru