В десятичной записи чётного числа $%M$% участвуют только цифры $%0, 2, 4, 5, 7$% и $%9$%, цифры могут повторяться. Известно, что сумма цифр числа $%2M$% равняется $%31$%, а сумма цифр числа $%M/2$% равняется $%28$%. Какие значения может принимать сумма цифр числа $%M$%? Укажите все возможные ответы.

задан 6 Фев '18 0:26

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть мы удваиваем какое-то десятичное число. Если в нём все цифры не больше 4, то они удваиваются, и сумма тоже удваивается. Если какая-то цифра a принимает значения от 5 до 9, то в её разряд записывается 2a-10 вместо 2a, и в следующий разряд переходит 1. Далее всё происходит примерно так же: если в следующем разряде находится цифра b<=4, то записывается 2b+1. За счёт цифры a>=5, от возможного значения удвоенной суммы теряется 9. Если же b>=5, то записывается цифра 2b-9, с учётом перешедшей единицы. При этом одна единица переходит в очередной разряд, и так далее. В итоге получается такое правило: сумма цифр удвоенного десятичного числа равна удвоенной сумме, за вычетом умноженного на 9 количества цифр исходного числа, которые >=5.

Например, пусть N=6528077. Сумма цифр равна S(N)=35. Не вычисляя само удвоенное число, можно сразу заключить, что S(2N)=2x35-9x5=25, поскольку в запись N входит 5 "больших" цифр (>=5).

Ещё одно общее замечание: в записи числа M все нечётные цифры "большие", то есть они >=5, а все чётные -- "маленькие", то есть <=4. (К числам M/2 и 2M это не относится -- там состав цифр может быть любым.) Тогда 31=S(2M)=2S(M)-9k, где k -- количество "больших цифр" в записи M, откуда вытекает нечётность k. Тогда S(M) является суммой чётных цифр 0,2,4 и нечётных цифр 5,7,9 в нечётном количестве. Значит, S(M) может принимать только нечётные значения. Если t -- число "больших" цифр в записи M/2, то S(M)=2S(M/2)-9t=56-9t, поэтому t будет нечётным.

Возможные значения для t -- это 1, 3, 5. Для них получится, что S(M) равно 47, 29, 11 соответственно. Третье значение сразу отпадает, потому что 31=S(2M)<=2S(M). Осталось привести примеры для значений 29 и 47.

В первом случае M/2 имеет ровно 3 "большие" цифры, и M их имеет k=(2S(M)-31)/9=3. Пример: M=9992 (сумма 29; состав цифр разрешённый). При этом 2M=19984 (сумма 31) и M/2=4996 (сумма 28).

Во втором случае M/2 имеет одну "большую" цифру, а в M их имеется k=(2S(M)-31)/9=7. В общем случае такой пример построить было бы можно, но при ограничениях на состав цифр числа M получается следующее. Запись M/2 имеет вид ...ba..., где a -- единственная "большая" цифра (если a -- крайняя слева, то b=0). После удвоения все цифры в разрядах правее a оказываются чётными, то есть "маленькими". На месте a появится чётная цифра 2a-10; на месте b будет 2b+1. Но далее переносов уже не возникает ввиду b<=4, и остальные цифры снова окажутся "маленькими". То есть 7 "больших" цифр у M не появится.

В итоге мы получили, что единственное значение суммы цифр числа M равно 29.

ссылка

отвечен 6 Фев '18 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,704

задан
6 Фев '18 0:26

показан
1097 раз

обновлен
6 Фев '18 20:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru