Условие задачи :

Доказать, что полуинтервал [0,1) с операцией (+), где 
a (+) b — дробная часть числа а + b, является группой.

Я понимаю, что я должна доказать сначала ассоциотивность, затем наличие нейтрального и обратного элементов, однако моя проблема в том, что я не знаю как формально доказать ассоциотивность.

Надеюсь, на вашу помощь!

задан 6 Фев '18 9:16

@Aksumaron: когда операция уподобляется сложению, обратные элементы принято называть противоположными.

Обратите также внимание на правописание слова "ассоциативность".

(6 Фев '18 14:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Известно, что всякое действительное число единственным образом представимо в виде $%x=k+\alpha$%, где $%k\in\mathbb Z$% и $%\alpha\in[0;1)$%. Эти слагаемые называются соответственно целой и дробной частью числа $%x$% и обозначаются в виде $%k=[x]$% и $%\alpha=\{x\}$%.

Назовём два действительных числа эквивалентными, если у них совпадают дробные части. То, что такое отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, прямо вытекает из определения. Будем обозначать эквивалентность двух чисел в виде $%x\sim y$%. Заметим, что это условие равносильно тому, что разность двух чисел -- целое число, то есть $%x-y\in\mathbb Z$%. Отметим два простых факта: всякое число эквивалентно своей дробной части, а также то, что из $%x\sim y$% следует $%x+z\sim y+z$%, так как разность не меняется.

Из сказанного следует, что $%a\oplus b\sim a+b$%, так как одно из чисел есть дробная часть другого. Применяя этот принцип дважды, с учётом устойчивости эквивалентности относительно сложения (свойство, отмеченное выше), получаем $%(a\oplus b)\oplus c\sim(a\oplus b)+c\sim(a+b)+c=a+b+c$%. Аналогично, $%a\oplus(b\oplus c)\sim a+(b\oplus c)\sim a+(b+c)=a+b+c$%.

Таким образом, для любых $%a,b,c\in[0,1)$%, элементы $%(a\oplus b)\oplus c$% и $%a\oplus(b\oplus c)$% эквивалентны. Ввиду того, что они оба принадлежат $%[0;1)$%, следует, что расстояние между ними на числовой прямой строго меньше 1. Поскольку оно целое, оно равно нулю, то есть числа совпадают: $%(a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)$%. Это доказывает ассоциативность.

Нейтральным элементом для операции $%\oplus$% является число $%0$%. Также каждоый элемент обладает противоположным относительно данной операции. Для нуля это будет ноль, а для элемента $%a\in(0;1)$% противоположным будет $%1-a\in(0;1)$%, так как $%a\oplus(1-a)=\{1\}=0$%.

Таким образом, все свойства группы проверены.

Можно дополнительно отметить, что операция $%\oplus$% над элементами множества $%[0;1)$% устроена так: если $%a+b < 1$%, то $%a\oplus b=a+b$%; если же если $%a+b\ge1$%, то $%a\oplus b=a+b-1$%. Исходя из этого, можно было бы доказать ассоциативность, но это потребовало бы рассмотрения большого числа случаев и подслучаев. Совсем простое доказательство, почти без проверок, можно было бы получить с использованием понятия факторгруппы, так как рассматриваемая здесь группа изоморфна факторгруппе $%\mathbb R/\mathbb Z$%, а также группе поворотов окружности.

ссылка

отвечен 6 Фев '18 14:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,621
×1,049
×143

задан
6 Фев '18 9:16

показан
813 раз

обновлен
6 Фев '18 14:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru