Вася хочет найти все целые числа $%a$% такие, что выражение $%5 n^{3} + 6 n^{5} + 4an$% делится на $%15$% для всех целых $%n$%. Какие остатки может давать число $%a$% при делении на $%15$%? Укажите все возможные ответы или докажите, что таких целых чисел $%a$% нет.

задан 6 Фев '18 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

При n=1 получается, что 4a+11 делится на 15. Значит, 16a+44 тоже делится, а это равносильно тому, что a-1=(16a+44)-15(a+3) делится. Поэтому a должно давать остаток 1 от деления на 15.

Достаточно проверить значение a=1: если подойдёт оно, то и все числа с таким остатком подойдут. Проверяем, делится ли 5n^3+6n^5+4n на 5 и на 3. Первое равносильно делимости n^5-n на 5, что верно по малой теореме Ферма. Второе приводит к -(n^3-n), что делится на 3 по той же причине. Или можно записать (n-1)n(n+1), получая три последовательных числа.

Задача здесь не столько олимпиадная, сколько на применение стандартной техники.

ссылка

отвечен 6 Фев '18 21:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
6 Фев '18 20:56

показан
747 раз

обновлен
6 Фев '18 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru