Вообще надо найти минимум этой функции: $%p/x^2 + q/(a-x)^2$%, $%p$% и $%q$%-константы
Производная от нее равна: $%2q/(a-x)^3-2p/x^3$%
Как найти экстремум? Помогите, пожалуйста.

задан 24 Мар '13 17:47

изменен 25 Мар '13 11:02

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

А константы здесь считаются положительными? Если нет, то минимума может и не быть. А если считаются, то после приравнивания производной к нулю можно легко найти то значение $%x$%, для которого это происходит. Куб числа $%(a-x)/x$% будет равен $%q/p$%, и после извлечения кубического корня всё сразу находится. Проверка того, что там на самом деле возникает точка минимума, может быть осуществлена на основании анализа знака производной.

Добавление. Будем предполагать, что $%p,q>0$%. Тогда $$f(x)=\frac{p}{x^2}+\frac{q}{(a-x)^2}.$$ Находим производную и приравниваем её значение к нулю: $$f'(x)=-2\frac{p}{x^3}+2\frac{q}{(a-x)^3}=0.$$ Это означает, что $$\frac{p}{x^3}=\frac{q}{(a-x)^3}.$$ Последнее равносильно тому, что $%p:q=x^3:(a-x)^3$%, или, с использованием обратных величин, $%(a-x)^3:x^3=q:p$%, то есть $$\left(\frac{a-x}x\right)^3=\frac{q}{p}.$$ Теперь, как и было сказано, извлекаем кубический корень: $$\frac{a-x}x=\sqrt[3]{\frac{q}{p}}\,\,.$$ Отсюда легко выражается $%x$%: $$x=\frac{a}{1+\sqrt[3]{q/p}}.$$ Эта величина больше нуля и меньше $%a$%. Функция достигает при этом значении $%x$% своего наименьшего значения.

ссылка

отвечен 24 Мар '13 17:56

изменен 24 Мар '13 18:45

Константы - силы двух источников света. Можете написать в виде формул, а то не очень понятно?

(24 Мар '13 18:12) Seyben

Сейчас допишу в конце своего ответа, а то в комментариях формулы плохо смотрятся.

(24 Мар '13 18:29) falcao

спасибо большое, теперь все понятно

(24 Мар '13 19:14) Seyben
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,490
×649
×332
×54

задан
24 Мар '13 17:47

показан
17908 раз

обновлен
25 Мар '13 11:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru