алгебра - Найти экстремум функции $%p/x^2 + q/(a-x)^2$%

А константы здесь считаются положительными? Если нет, то минимума может и не быть. А если считаются, то после приравнивания производной к нулю можно легко найти то значение $%x$%, для которого это происходит. Куб числа $%(a-x)/x$% будет равен $%q/p$%, и после извлечения кубического корня всё сразу находится. Проверка того, что там на самом деле возникает точка минимума, может быть осуществлена на основании анализа знака производной.

Добавление. Будем предполагать, что $%p,q>0$%. Тогда $$f(x)=\frac{p}{x^2}+\frac{q}{(a-x)^2}.$$ Находим производную и приравниваем её значение к нулю: $$f'(x)=-2\frac{p}{x^3}+2\frac{q}{(a-x)^3}=0.$$ Это означает, что $$\frac{p}{x^3}=\frac{q}{(a-x)^3}.$$ Последнее равносильно тому, что $%p:q=x^3:(a-x)^3$%, или, с использованием обратных величин, $%(a-x)^3:x^3=q:p$%, то есть $$\left(\frac{a-x}x\right)^3=\frac{q}{p}.$$ Теперь, как и было сказано, извлекаем кубический корень: $$\frac{a-x}x=\sqrt[3]{\frac{q}{p}}\,\,.$$ Отсюда легко выражается $%x$%: $$x=\frac{a}{1+\sqrt[3]{q/p}}.$$ Эта величина больше нуля и меньше $%a$%. Функция достигает при этом значении $%x$% своего наименьшего значения.