Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $%Oxy$% множество решений неравенства:

$%( y^{2} - arccos^{2}(cosx)) \cdot( y^{2} - arccos^{2}(cos(x+ \frac{ \pi }{3} )))\cdot( y^{2} - arccos^{2}(cos(x- \frac{ \pi }{3} )))<0$%

График, который получился: alt text

alt text

задан 6 Фев '18 21:42

изменен 8 Фев '18 19:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

Функция $%2\pi$%-периодична по $%x$%, поэтому достаточно изобразить множество решений неравенства при $%-\pi < x\le\pi$%, а остальное получить при помощи сдвигов. Также ясно, что функция чётна по переменной $%x$%, и можно ограничиться случаем $%x\in[0;\pi]$%, получая остальную часть отражением относительно оси ординат.

Заметим, что при $%x\in[0;\pi]$% выполняется тождество $%\arccos(\cos x)=x$% в силу определения арккосинуса. Нетрудно нарисовать и сам график этой функции на всей числовой прямой -- он имеет "пилообразный" вид. Здесь нам достаточно отметить, как ведёт себя эта функция справа и слева от "основного" отрезка $%[0,\pi]$%. Так, при $%x\in[\pi,2\pi]$% значением функции будет $%2\pi-x$%: косинус здесь такой же, но само от число принадлежит "основному" отрезку. Аналогично, при $%x\in[-\pi,0]$% функция "арккосинус косинуса" равна $%-x$%.

Теперь проводим прямые $%y=\pm x$%, затем $%y=x+\frac{\pi}3$%, которая для первых двух третей нашего отрезка даёт нужный график, а на последней трети мы его "загибаем". Угловой коэффициент становится там равен $%-1$%, что однозначно описывает поведение графика ввиду того, что функции у нас непрерывны. График $%y=x-\frac{\pi}3$% даёт верную картину на последних двух третях отрезка; на первой трети он по тому же принципу "загибается". Осталось отразить два только что построенных графика относительно оси абсцисс.

В итоге мы имеем 6 линий, построенных выше. Они делят плоскость на несколько частей. Поскольку неравенство имеет вид $%< 0$%, самые верхние и самые нижние области (уходящие в бесконечность) в множество решений не войдут. Остальное заштриховываем в "шахматном" порядке. Нарисованный фрагмент отражаем и продолжаем, как было указано в начале. Получается такой "узор" из квадратов и прямоугольников, стороны которых идут под углом 45 градусов к осям.

ссылка

отвечен 7 Фев '18 0:52

@falcao: Я попытался построить график по Вашим объяснениям. Наверное нарисовал правильно, или всё-таки где-то ошибся? Я не знаю как помещать рисунки в комментариях и поэтому рисунок я поместил в условие задачи для $%x>0$%, потом это отражаем, это я понял. Я не уверен, что я правильно заштриховал области, я не очень понимаю как выбрать и обосновать что именно так надо штриховать. Заранее благодарен. С уважением.

(8 Фев '18 14:57) serg55
1

@serg55: рисунок совершенно правильный. Надо только добавить штриховку некоторых областей. Тут принцип такой же, как на шахматной доске, только поля могут иметь разную форму и разный размер. Скажем, все треугольники, у которых гипотенуза лежит на оси абсцисс, закрашиваются. При слиянии с отражённым рисунком они превратятся в квадраты. По поводу обоснования: неравенство имеет вид (y-f1(x))...(y-f6(x)) < 0 для каких-то функций. Зафиксируем x и будем решать неравенство относительно y методом интервалов. Последние будут чередоваться. При этом лучи на бесконечности не войдут (там "плюс" у л.ч.).

(8 Фев '18 17:15) falcao
1

@falcao: С учётом отображения графика относительно оси Ox и с учётом Ваших замечаний у меня получился следующий график, который опять помещен в условии задачи (рис. 2). И насколько я понимаю этот график ещё отображается относительно оси Oy. Правильно ли я всё изобразил? Заранее благодарен. С уважением.

(9 Фев '18 0:32) serg55
1

@serg55: да, всё в точности так. Рисунок теперь полностью верный.

(9 Фев '18 0:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711

задан
6 Фев '18 21:42

показан
545 раз

обновлен
9 Фев '18 0:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru