Показать, что любое выпуклое и открытое подмножество в R^2 гомеоморфно R^2. Я делал так: поместим наше выпуклое и открытое в точку (0;0). Будем строить лучи из этой точки. Если луч на бесконечности принадлежит подмножеству, то его точки перейдут в себя. В ином случаем будем "растягивать" луч до бесконечности. Скажите, пожалуйста, это верное решение?. Если да, то помогите, пожалуйста формализовать его.

задан 7 Фев '18 2:39

изменен 7 Фев '18 2:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

В формулировке подразумевается, что множество непустое.

Чтобы было проще, полезно сначала отобразить R^2 на единичный диск, переводя лучи в интервалы по правилу, скажем, r->arctg(r). Множество останется "звёздным" относительно O (выпуклость не обязательна). Для ограниченного множества, каждому лучу сопоставляем предельную точку r(ф) на луче, непрерывно зависящую от угла ф. Далее по всем лучам согласованно переводим точку на расстоянии t в точку на расстоянии t/r(ф). Получается гомеоморфизм на открытый единичный круг.

Здесь важна согласованность масштабов, поэтому не всякая конструкция подходит.

ссылка

отвечен 7 Фев '18 9:38

@falcao, простите, а как быть в случае неограниченного множества?

(7 Фев '18 22:55) ВВД

@Гаврош: про это сказано во втором предложении. Надо гомеоморфно отобразить всю плоскость R^2 (неограниченное множество) на единичный диск (ограниченное множество). В итоге задача сведётся к более простому случаю, когда множество ограничено. Разумеется, вместе с плоскостью любое её подмножество также "стягивается". Для этого, как говорится, и старались.

Лучу OA принадлежат какие-то точки помимо A. Если принадлежит точка A, то принадлежат все точки между O и A. Это свойство "звёздности". Рассматривается точная верхняя грань точек множества. Скажем, для [0;3) это 3, для [0,4) это 4 и т.д.

(7 Фев '18 23:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×304
×46
×1

задан
7 Фев '18 2:39

показан
406 раз

обновлен
8 Фев '18 0:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru