Вицефакториал - это факториал, из которого вычеркнут ровно один сомножитель. Например, 30 - это вицефакториал, полученный вычёркиванием сомножителя, равного 4, из факториала числа 5.

Все факториалы также являются вицефакториалами (в данном случае вычеркнут сомножитель, равный 1).

Перед вами несколько первых вицефакториалов: 1 2 3 6 8 12 24 30 ... (и почему этой последовательности нет в OEIS?)

И в заключение - маленькое уравнение в вицефакториалах:

$$v+w=3^n$$ ($%v$% и $%w$% - вицефакториалы, $%n$% - натуральное число).

задан 7 Фев 3:20

изменен 7 Фев 3:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Почти все вицефакториалы чётны. Исключение составляют 1 и 3, что достаточно очевидно (при n>=4 у факториала есть по крайней мере два чётных сомножителя). Из чисел v, w одно чётно, другое нечётно. Поэтому достаточно выявить вицефакториалы вида 3^n-1 и 3^n-3.

Для первого случая всё просто, так как почти все вицефакториалы делятся на 3. Поэтому случаи m!/k при m>=6 можно не анализировать. Остальные значения не больше 5!=120, и они делят это число. Тогда n<=4. Подходят n=1 (2=2!/1) и n=2 (8=4!/3).

Для второго случая можно не анализировать числа вида m!/k при m>=9, так как там появятся три сомножителя, кратные 3. Если m>=6, то надо делить факториал на 6 или на 3, чтобы не было делимости на 9. Рассматривая такие числа для m=6,7,8, и прибавляя к ним 3, находим одно решение 3^5-3=240=6!/3. При m<=5 также оказывается, что 3^n-3<=120, и n<=4. Подходят n=2, где 3^2-3=6=3!/1 и n=3, где 3^3-3=4!/1. Это все решения.

ссылка

отвечен 8 Фев 1:17

@falcao, большое спасибо!

(8 Фев 1:20) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×423
×68
×13
×1
×1

задан
7 Фев 3:20

показан
44 раза

обновлен
8 Фев 1:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru