Доказать что $%f: R\rightarrow R^3, t\mapsto (t,t^2,t^3)$% - гладкое вложение. То есть:

  • $%df_x$% инъективен для любого $%x\in R$%
  • $%f$% - гомеоморфизм на образ

Найти две линейно независимые функции,которые глобально определяют образ. Являются ли они линейно независимыми на всем $%R^3$% или только на открытом подмножестве образа?

задан 7 Фев '18 5:49

Дифференциал инъективен, похоже, потому что матрица Якоби равна (1, 2t, 3t^2), и если (1, 2t, 3t^2)x=0, то x=0. Также отображение инъективно и непрерывно, но почему обратное отображение из образа в R непрерывно?

Или же почему оно собственное? (Прообраз компакта компакт)

(7 Фев '18 20:48) wart

Линейно независимые функции определяющие образ это видимо x^2-y, x^3-z. Они линейно независимы на всём R^3? Независимость по определению означает что дифференциалы этих функций независимы

(8 Фев '18 0:41) wart

@wart: при отображении t->(t,t^2,t^3) расстояния между точками могут только увеличиваться. Поэтому обратное отображение липшицево с константой 1. То есть там в определении можно взять delta=eps. Непрерывность обратного отображения здесь более очевидна, чем непрерывность исходного.

Функции x^2-y и x^3-z, разумеется, линейно независимы на R^3. Вопрос в форме "или только" звучит нелепо, так как из линейной независимости на меньшем множестве следует линейная независимость на большем, а не наоборот. На образе же эти функции тождественно нулевые.

(8 Фев '18 1:41) falcao

@falcao: почему расстояния могут только увеличиваться и как отсюда следует что обратное отображение липшицево с константой 1? Этот момент не понятен

(8 Фев '18 2:33) wart

@wart: расстояние между векторами (t,t^2,t^3) и (s,s^2,s^3) равно sqrt((s-t)^2+...)>=|s-t|. Это и значит, что расстояние, которое было равно |s-t|, могло только увеличиться. По той простой причине, что если разница по одной координате большая, то и расстояние большое. Для обратного отображения расстояние может только уменьшиться. Что это значит? Что |g(u)-g(v)|<=||u-v||. Это и есть липшицевость с константой 1. Здесь ведь всё просто, надо только мыслить в правильной системе понятий.

(8 Фев '18 3:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
7 Фев '18 5:49

показан
218 раз

обновлен
8 Фев '18 3:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru