При каких значениях параметра $%a$% уравнение:

$% 3^{ x^{2}+6ax+9 } =a x^{2} +6 a^{2}x+9 a^{3}+ a^{2} -4a+4$%

имеет ровно одно решение?

задан 7 Фев '18 18:58

1

недавно про аналогичную задачу спрашивали...

(7 Фев '18 19:39) all_exist
2

Идея решения: выделяем полные квадраты, и уравнение становится уравнением от y^2, где y=x+3a. Ровно одно решение может быть только тогда, когда это y=0. Подставляем, находим значения a, потом их анализируем на предмет достаточности.

(7 Фев '18 19:41) falcao

@falcao: Идея понятна. Получаем $%a=1$% и $%a=3$%. Подставив эти значения в уравнение, получим $% 3^{ y^{2} }= y^{2} +1$% при $%a=1$%; $% 3^{ y^{2} }= 3y^{2} +1$% при $%a=3$%. И я не очень понимаю, как определить сколько решений имеет каждое уравнение. У меня получается. что первое уравнение имеет одно решение $%y=0$%, а второе три решения, одно из которых $%y=0$% и ещё два каких-то, но как это обосновать подробно, без перебора многих значений я не знаю. Заранее благодарен. С уважением.

(7 Фев '18 20:01) serg55
1

@serg55: прежде всего, положим t=y^2, и будем сравнивать 3^t с линейными функциями 1+t и 1+3t на луче t>=0. Понятно, что при t=0 будет решение. Нам надо, чтобы не было других. Построим график показательной функции. Проведём к нему касательную в нуле. Угловой коэффициент равен значению производной 3^t ln(3) в нуле, то есть это k=ln(3). Это число > 1, так как 3 > e. Значит, всё что с меньшим коэффициентом, включая 1+t, пойдёт ниже касательной (график выпуклый вниз), и решение будет одно. А для числа 3 будет ещё хотя бы одно пересечение: функция 3^t-(1+3t) в точках t=1 и t=2 даёт разные знаки.

(8 Фев '18 0:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,706
×55

задан
7 Фев '18 18:58

показан
283 раза

обновлен
8 Фев '18 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru