Пусть дана последовательность a={an}, an>0. Докажите, что пространство $$l_a=\{x=\{x_n\}| \ ||x||a=\sum{n=1}^{\infty}a_n|x_n|<\infty\}$$ - банахово. Можно ли это сделать через коэффициенты Фурье и равенство Парсеваля?Ведь если выполнено равенство Парсеваля, то система полная. Правда я не совсем понимаю как его тут применить

задан 8 Фев '18 19:03

изменен 8 Фев '18 19:06

Здесь достаточно простого замечания, что правило (x1,x2,...)->(a1x1,a2x2,...) задаёт изоморфизм нормированных пространств. Значит, пространство из условия изоморфно l_1, а последнее, как известно, банахово.

(8 Фев '18 20:25) falcao

@falcao А изоморфны они потому, что это отображение сохраняет структуру линейного пространства и топологию? А как побыстрее доказать что l_1 банахово? Не проверять же что любая фундаментальная последовательность сходиться? P.s вроде понял как доказать, можем взять любой вектор x=(x1,x2,...,xn,...) и x^n=(x1,x2,...,x^n,0,..). Тогда x^n это линейная комбинация базисных векторов в l_1 и еще ||x-x^n||=sum_n=k+1^infty |xk| ->0 при n стремящемся в беск. Так?

(9 Фев '18 1:12) Mathworld

@Mathworld: там не только топология сохраняется, но и норма одного пространства переходит в норму другого. То есть это по построению так. Полнота l_1 доказана в учебниках -- см., например, у Колмогорова и Фомина. Можно взять случай l_2 и перенести на l_1 почти без изменений.

(9 Фев '18 1:28) falcao

@falcao Ну да, это изометрический изоморфизм, как я понимаю. А примерно, то доказательство, которое я привел, подходит?

(9 Фев '18 1:30) Mathworld

@Mathworld: я не понимаю того рассуждения, которое Вы привели. Что оно призвано доказать? По-моему, из этого можно вывести свойство каких-то всюду плотных подмножеств. Для свойства полноты вроде как надо смотреть, как себя ведут фундаментальные последовательности. Там всё стандартно должно быть, как в учебниках.

(9 Фев '18 1:36) falcao

@falcao Хорошо, спасибо!

(9 Фев '18 1:43) Mathworld
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×641

задан
8 Фев '18 19:03

показан
298 раз

обновлен
9 Фев '18 1:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru