А — произведение континуального семейства дискретных двухточечных пространств. Доказать, что в А существует последовательность, которая не имеет сходящейся подпоследовательности.

задан 9 Фев 0:28

10|600 символов нужно символов осталось
2

В качестве континуального множества индексов рассмотрим множество $%X$%, которое представляет собой единичный отрезок $%[0,1]$% без двоично-рациональных точек. Каждый элемент $%x\in X$% есть число, имеющее двоичное разложение вида $%0,x_1x_2\ldots x_n\ldots$%, где ни у какой из двоичных дробей нет ни 0, ни 1 в периоде.

Пространство $%A$% представляет собой множество функций из $%X$% в $%\{0,1\}$% с топологией произведения (тихоновской топологией). Рассмотрим в нём последовательность функций $%f_1$%, $%f_2$%, ... , $%f_n$%, ... , где $%f_n(x)=x_n$% в обозначениях выше. Заметим, что любая сходящаяся в $%A$% последовательность должна сходиться покоординатно, то есть для каждого $%x\in X$%. Действительно, проекция на любую из координат есть непрерывное отображение. Отсюда из определения непрерывности (прообраз открытого множества открыт) и из определения сходимости (в любой окрестности точки лежат почти все члены последовательности) следует сходимость образа сходящейся последовательности.

В пространстве $%\{0,1\}$% сходимость означает постоянство членов, начиная с некоторого номера. Теперь допустим, что $%f_n$% обладает сходящейся подпоследовательностью с номерами членов $%n_1 < n_2 < \cdots$%. Рассмотрим число $%x$%, для которого $%x_{n_k}=1$% при нечётном $%k$%, а все остальные члены равны нулю. Тогда в точке $%x$% не будет сходимости последовательности $%f_{n_k}(x)$%, так как в ней нули и единицы чередуются. Значит, нет и сходимости подпоследовательности в $%A$%.

ссылка

отвечен 9 Фев 3:03

@falcao, спасибо

(9 Фев 3:26) Yıldırım Bay...

@Yıldırım Bay...: тут был вопрос, на который я собирался ответить, но его к этому времени уже удалили. Я так понимаю, что для вывода из свойства компактности свойства секвенциальной компактности, нужны какие-то дополнительные условия типа наличия счётной базы окрестностей. В общем же случае этот факт не имеет места.

(10 Фев 4:05) falcao

@falcao, спасибо. Извините, за дурацкий вопрос, а зачем нужно доказывать покоординатную сходимость так, как Вы доказывали, если это, как мне кажется следует из f_n(x)=x_n

(10 Фев 19:44) Yıldırım Bay...

@Yıldırım Bay...: я просто напомнил, что из сходимости последовательности в A следует покоординатная. Это общее свойство тихоновской топологии, оно верно для любых последовательностей. Если взять f_n(x)=x_n, то это никак и не помогает, и не мешает.

(10 Фев 19:54) falcao

@falcao, прошу прощения, а вам не кажется, что данное решение работает и для счетных последовательностей?

(16 Фев 23:43) Lans

@Lans: счётными бывают множества, а не последовательности. Но если иметь в виду, что члены последовательности занумерованы, то какими ещё они в этом смысле могут быть?

(16 Фев 23:49) falcao

@falcao, извиняюсь, неправильно выразился. Имею ввиду вместо континуального счетное

(17 Фев 0:01) Lans

@Lans: если взять {0,1}^N вместо {0,1}^R, то получится пространство, гомеоморфное канторову множеству. В нём любая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, так как это ограниченное подмножество числовой прямой.

(17 Фев 0:15) falcao

@falcao, спасибо. Извиняюсь, за беспокойство

(17 Фев 0:24) Lans

@falcao. Я все-таки понял, что мне кажется странным. По-моему ваше решение работает, если вместо континуального семейства брать счетное. Это вроде как противоречие

(17 Фев 1:24) Lans

@Lans: для того, чтобы понять, в чём ошибка, нужно анализировать само это гипотетическое рассуждение. Приведите его, и тогда будет понятно. В моём рассуждении множество индексов являет собой континуум, рассматриваемый как множество двоичных последовательностей. На этой основе строится пример последовательности точек пространства, у которой никакая подпоследовательность не сходится. Если множество индексов заменить на N, то непонятно, как строить саму такую последовательность. Аналогия совершенно не просматривается.

(17 Фев 1:30) falcao

@falcao, а я правильно понимаю, что континуальность в конечном счете используется для того, чтобы обязательно нашлсь последовательность, в которой можно выбрать последовательность, для которой xnk=1 при нечётном k, а все остальные члены равны нулю?

(2 дня назад) Yıldırım Bay...

@Yıldırım Bay...: в принципе, да, но надо иметь в виду, что пример подходящей последовательности (без сходящихся подпоследовательностей) строится на основе представления континуума в определённом виде. А именно, в виде двоичных дробей. Это позволяет угадать принцип построения последовательностей, который здесь был указан. Со счётным множеством индексов это всё в принципе не проходит.

(2 дня назад) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×248

задан
9 Фев 0:28

показан
104 раза

обновлен
2 дня назад

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru