Числовая функция $%f$%, определенная на всей числовой оси, такова, что для любых $%x$% и $%y$% выполняется равенство $%f(x-y) = f(x) \cdot f(y)$%. Найдите все такие функции.

задан 9 Фев 7:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если f(0)=0, то f(x)^2=f(x-x)=0, откуда f(x)=0 тождественно.

Если f(0) не равно 0, то f(0)=f(0)^2 при x=y=0, откуда f(0)=1. При x=0 это даст f(-y)=f(y), то есть функция чётна. При x=y получаем f(x)^2=f(x-x)=1, откуда f(x)=1 или f(x)=-1.

Возьмём любое z, полагая x=z/2, y=-z/2. Тогда f(z)=f(x-y)=f(z/2)f(-z/2)=f(z/2)^2>=0. Тем самым, случай f(z)=-1 невозможен, и получается, что f(z)=1 тождественно.

ссылка

отвечен 9 Фев 9:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545

задан
9 Фев 7:55

показан
59 раз

обновлен
9 Фев 9:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru