Можно ли как-то быстро понять, когда у уравнения $%\frac{a}{x}+x^2=b$% $%(a>0, b>0)$% имеется ровно одно решение?

задан 9 Фев '18 15:30

изменен 9 Фев '18 15:31

Можно также было построить примерный график функции x^2+a/x, найти критическую точку и значения в ней, выявляя, какие из положительных значений b принимаются единожды.

(9 Фев '18 19:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим кубическое уравнение $%x^3=bx-a$%, получаемое домножением на $%x$%. Если $%x=0$% является корнем кубического уравнения, то $%a=0$%, что противоречит положительности $%a$%. Поэтому достаточно понять, при каких значениях параметров у кубического уравнения будет ровно один корень.

Рассматриваем многочлен $%x^3-bx$%. Его производная равна $%3x^2-b$%; критические точки $%x=\pm\sqrt{\frac{b}3}$%. Значения в этих точках: $%x(x^2-b)=-\frac{2b}3x=\mp c$%, где $%c=\frac{2b}3\sqrt{\frac{b}3}$%.

Из графических соображений видно, что значения, которые по модулю меньше $%c$%, принимаются трижды, значения $%\pm c$% дважды, и значения, больше $%c$% по модулю -- ровно один раз. Нас интересуют отрицательные значения, откуда $%-a < -c$%, то есть ответом будет $%a > 2(\frac{b}3)^{3/2}$%, что равносильно $%\frac{a^2}4 > \frac{b^3}{27}$% для положительных чисел. Неравенство вызывает ассоциации с формулой Кардано.

ссылка

отвечен 9 Фев '18 19:04

@falcao, а если при этом $%x>0$%?

(9 Фев '18 22:39) dolnikov

@dolnikov: а в чём состоит Ваш вопрос? Или, может быть, Вы имеете в виду новую задачу о том, при каких a,b уравнение имеет ровно один положительный корень?

(10 Фев '18 1:11) falcao

@falcao, ага.

(10 Фев '18 4:17) dolnikov

@dolnikov: это отдельная задача, она по-другому решается. По-моему, этому как раз соответствует случай касания параболы и гиперболы, который был в самом начале рассмотрен у @goldish09.

(10 Фев '18 13:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ: при $$b^3<\frac{27a^2}{4}$$

Решение: Зафиксируем $%a$%. При изменении $%b$% парабола двигается вверх-вниз. Один корень будет всегда (он отрицательный), два корня будут когда графики касаются ("особый" случай) и три корня в оставшихся случаях.

Найдем условия для "особого" случая Нужно чтобы графики функций $%y=\frac ax$% и $%y=b-x^2$% касались друг друга.

Уравнение касательных:

$$y-\frac a{x_0}=-\frac a{x_0^2}(x-x_0)$$ и

$$y-b+x_0^2=-2x_0(x-x_0)$$ Так как эти касательные совпадают, нужно просто приравнять кутовые коэффициенты и вольные члены, то есть когда выполняются два условия:

1) $$\frac a{x_0^2}=2x_0$$

2) $$\frac{2a}{x_0}=x_0^2+b$$

С первого условия выражем $%x_0=\sqrt[3]{\frac{a}{2}}$%, подставляем во второе и получаем ответ.

alt text

ссылка

отвечен 9 Фев '18 17:08

изменен 9 Фев '18 19:55

@goldish09: у Вас парабола пересекает вторую ветвь гиперболы, то есть возникает ещё один корень. В условии сказано, что параметры a,b положительны, но корни могут быть любыми, поэтому отрицательные значения тоже считаются.

(9 Фев '18 18:48) falcao

@falcao: А теперь правильно?

(9 Фев '18 18:55) goldish09

@goldish09: по-моему, нет. Я решал другим способом, через кубический многочлен, и у меня другой ответ получился.

(9 Фев '18 19:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909

задан
9 Фев '18 15:30

показан
477 раз

обновлен
10 Фев '18 13:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru