Докажите, что для любого векторного пространства $%U$% и произвольного билинейного отображения $%\phi : V\times W \rightarrow U $% существует единственное линейное отображение $%\psi : V \otimes W \rightarrow U$%, такое что $%\phi (v, w) = \psi (v \otimes w)$% для всех $%v \in V, w \in W$%

Можно ли просто определить его как $%\psi(e_i \otimes f_j) = \phi(e_i, f_j)$%, где $%(e_1, ..., e_n)$% - базис $%V$%, а $%(f_1, ..., f_m)$% - базис $%W$%?

UPD. Понял, что, скорее нет. В связи с чем возник другой вопрос, как это сделать?

задан 10 Фев '18 22:54

изменен 10 Фев '18 23:16

1

@FrostABC: а почему нет? Такое отображение существует и единственно, поэтому оно должно удовлетворять указанному условию. С другой стороны, оно подходит.

Вообще, здесь всё следует из определения тензорного произведения векторных пространств (и утверждения о гомоморфизмах), то есть можно даже не переходить к базисам.

(11 Фев '18 0:59) falcao

@falcao а почему оно существует и единственно?

(11 Фев '18 1:09) FrostABC
1

@FrostABC: если есть любое векторное пространство, и в нём задан базис, то всякое отображение базиса в заданное векторное пространство продолжается до линейного единственным способом. Это совсем тривиальный факт. В этой задаче если что-то и надо доказывать, то тот факт, что элементы вида e(i) \oplus f(j) дают базис тензорного произведения. Но это, надо полагать, уже обосновано. Тогда доказывать нечего.

(11 Фев '18 1:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,330
×216
×96

задан
10 Фев '18 22:54

показан
341 раз

обновлен
11 Фев '18 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru