Найдите все значения а ,при каждом из которых уравнение |x-a^2-3a|+|x-a^2+2a|+|2x-a^2-a|=5a имеет хотя бы один корень.

задан 11 Фев 11:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если уравнение имеет решение, то $%a\ge0$% ввиду неотрицательности левой части. Рассмотрим функцию $%f(x)=|x-(a^2+3a)|+|x-(a^2-2a)|+2|x-\frac{a^2+a}2|$%. Она кусочно-линейна и непрерывна, и достигает наименьшего значения в какой-то точке, в которой один из модулей-слагаемых обращается в ноль. Чтобы хотя бы один корень уравнения $%f(x)=5a$% имелся, необходимо и достаточно, чтобы это наименьшее значение было не больше $%5a$%.

Сразу отметим, что при $%a=0$% имеется корень $%x=0$%. Далее пусть $%a > 0$%. Рассмотрим случаи обращения в ноль каждого из слагаемых. Ясно, что $%f(a^2+3a)=0+5a+a^2+5a > 5a$%. Далее, $%f(a^2-2a)=5a+0+|a^2-5a|$%, что всегда больше $%5a$% кроме случая $%a=5$%, когда $%x=5^2-2\cdot5=15$% будет корнем. Наконец, $%f(\frac{a^2+a}2)=\frac{a^2+5a}2+\frac12|a^2-5a|+0=\frac{a^2+5a+|a^2-5a|}2$%.

Если $%a > 5$%, то значение функции равно $%a^2 > 5a$%. Если $%a\le5$%, то значение функции равно $%5a$%, и корень $%x=\frac{a^2+a}2$% имеется.

Итого $%a\in[0;5]$%.

ссылка

отвечен 11 Фев 12:44

Спасибо большое,у меня так же получилось

(11 Фев 13:38) dmrm
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
11 Фев 11:32

показан
124 раза

обновлен
11 Фев 13:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru