Положительные $%a,b$% и $%c$% связаны соотношением $$\frac1{1+a^2}+\frac1{1+b^2}+\frac1{1+c^2}=1.$$ Доказать неравенство $$a+b+c\ge2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).$$

задан 11 Фев 18:54

@EdwardTurJ: Не получается методом множителей Лагранжа. Подскажите, пожалуйста, в каких случаях он хорош, а в каких нет. И равенство тут только при $%a=b=c$%?

(12 Фев 0:05) goldish09

@goldish09: можно ещё попробовать применить метод Лагранжа после замены переменных типа x=1/(1+a^2) и т.п. Тогда условие примет более простой вид x+y+z=1. Правда, там при этом всё равно что-то сложное возникает.

(12 Фев 0:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

$$a=\sqrt{ \dfrac{x+y}{z} }\ ,\ b=\sqrt{ \dfrac{y+z}{x} } \ , \ c=\sqrt{ \dfrac{z+x}{y} }$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x+y-2z}{\sqrt{(x+y)z}}+\dfrac{z+x-2y}{\sqrt{(z+x)y}}+\dfrac{y+z-2x}{\sqrt{(y+z)x}}\ge 0$$

Последнее неравенство верно по Чебышеву:

Пусть: $%x \le y \le z$%

$$x+y-2z\le z+x-2y \le y+z-2x$$

$$\sqrt{(x+y)z}\ge \sqrt{(z+x)y}\ge \sqrt{(y+z)x}$$

ссылка

отвечен 12 Фев 0:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
11 Фев 18:54

показан
410 раз

обновлен
12 Фев 1:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru