Докажите, что для функции f(x), выпуклой вниз на [a,b], справедливы неравенства f((a+b)/2)(b-a)<= ∫(пределы интегрирования от a до b) f(x)dx<=(f(a)+f(b))/2*(b-a)

задан 11 Фев 21:53

10|600 символов нужно символов осталось
0

Функция здесь является интегрируемой по Риману на отрезке, поэтому она ограничена. Если прибавить к $%f(x)$% некоторую константу, все значения функции станут положительными. Свойство выпуклости вниз останется. На неравенства это никак не повлияет, так как все три величины увеличатся на одно и то же значение $%C(b-a)$%.

Считая, что $%f(x) > 0$% всюду на отрезке, нарисуем график. Интеграл будет равен площади криволинейной трапеции.

Для получения верхней оценки, проведём хорду графика, соединяющую $%(a,f(a))$% и $%(b,f(b))$%. График функции находится не выше этой хорды в силу выпуклости вниз. Поэтому площадь криволинейной трапеции не больше площади трапеции, образованной этой хордой, прямыми $%x=a$%, $%x=b$% и $%y=0$%. Площадь такой трапеции равна произведению её средней линии на высоту, то есть $%\frac{f(a)+f(b)}2(b-a)$%. Это и есть верхняя оценка.

Для получения нижней оценки надо провести через точку $%(\frac{a+b}2,f(\frac{a+b}2))$% такую прямую, чтобы график функции на отрезке находился всюду не ниже неё. Для дифференцируемой функции это будет касательная. В общем случае существование такой прямой следует из выпуклости надграфика функции. Например, для функции типа модуля в нуле подойдёт любая прямая с угловым коэффициентом между $%-1$% и $%1$%.

Увеличивая при необходимости значение константы $%C$%, можно добиться того, чтобы точки пересечения проведённой прямой с прямыми $%x=a$% и $%x=b$% имели положительные ординаты. Тогда криволинейная трапеция будет содержать обычную трапецию со средней линией $%f(\frac{a+b}2)$% и высотой $%b-a$%. Её площадь даст оценку снизу.

ссылка

отвечен 11 Фев 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,461

задан
11 Фев 21:53

показан
92 раза

обновлен
11 Фев 22:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru