Найти все главные максимальные идеалы в $%\mathbb Z[x]$%

Есть ли пробелы или ошибки в доказательстве?

Пусть $%I=(f)$% - главный идеал. Если $%f\equiv 0$%, то $%I$% не максимален (фактор не поле). Пусть $%\deg f=0$%, т.е. $%f=c$%. Если $%c=\pm 1$%, то $%I $% не максимален по определению. Если $%c\ne \pm 1, $% то $%I$% собственно содержится в $%(c,x)\ne \mathbb Z[x]$% и поэтому не максимален. (Последнее неравенство выполнено потому что фактор $%\mathbb Z_c\ne 0$%.) Пусть $%\deg f=n >0$%: $%f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$%. Пусть $%p$% - простое число, не делящее коэффициент $%a_i, i\ne 0$%. Тогда $%I$% собственно содержится в $%(f,p)$%. (Если $%p\in I$%, то $%p=f(x) g(x)$% для некоторого $%g\in \mathbb Z[x]$%, но степень левой части ноль, а правой больше нуля, такого быть не может.) Надо только показать что $%(p,f)\ne \mathbb Z[x]$%. Рассмотрим фактор по этому идеалу. Это будет $%\mathbb Z_p[x]/(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0)$% где $%b_i\in \{0,1,\dots, p-1\}, b_i=a_i \mod p$%. Достаточно показать, идеал $%J=(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0)$% в $%\mathbb Z_p[x]$%не содержит единицы. Согласно выбору $%p$%, $%b_i\ne 0 $% для некоторого $%i\ne 0$%. Если $%1\in J$%, то $%1=(b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0)h(x)$% для некоторого $%h(x)\in \mathbb Z_p[x]$%. Поскольку $%\mathbb Z_p$% - поле, степень правой части по меньшей мере $%i >0$%, а левой - нуль. Значит $%J$% не единичный идеал и поэтому $%(p,f)$% собственно лежит в $%\mathbb Z[x].$% Поэтому в рассматриваемом случае $%I $% тоже не максимален.

Вывод: все случаи вроде покрыты, поэтому $%I$% не максимален.

задан 12 Фев 0:40

изменен 12 Фев 1:02

@Slater: я здесь мало что понял (какой в итоге вывод?), но обратил внимание на последнюю фразу: (p,f) лежит в Z_p[x]. Такого быть в принципе не может, так как (p,f) содержится в Z[x], а Z_p[x] -- это совсем другое кольцо.

(12 Фев 1:00) falcao

Да, это опечатка, а вывод добавил.

(12 Фев 1:02) Slater

@Slater: я думаю, что для случая, когда deg f >=1, можно рассуждать как-то проще. Существует целое a такое, что |f(a)| > 1. Тогда (f) содержится в большем идеале (x-a,f(a)) с учётом теоремы Безу.

(12 Фев 1:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,766

задан
12 Фев 0:40

показан
118 раз

обновлен
12 Фев 1:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru