Вершины одной из граней куба со стороной 30 лежат на сторонах треуг. АВС. Точка D лежит на противоположной грани этого куба. Какое наименьшее значение может принимать объем тетраэдра АВСD?

задан 12 Фев 10:24

недавно уже про такое спрашивали...

(12 Фев 19:46) all_exist

Да, действительно такое было.

(13 Фев 4:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Повтор вопроса". Закрывший - falcao 13 Фев 4:40

1

Высота h тетраэдра равна длине стороны куба. Значит, минимизировать надо площадь основания S. Объём равен V=Sh/3.

Получается плоская задача: для заданного квадрата надо найти треугольник наименьшей площади, на сторонах которого лежат вершины квадрата. Изобразим треугольник ABC, в него впишем квадрат KLMN, где K и N лежат на AC, L на AB, и M на BC. Через точку L проведём прямую параллельно BC до пересечения с AC в точке P. Треугольник MNC равен LKP; заменяем один на другой.

Площадь ABC равна сумме площади квадрата, который не меняется, и суммы площадей треугольников BLM и LAP, которые подобны исходному. Эту сумму надо минимизировать. Коэффициенты подобия равны k=BL:BA и 1-k=AL:AB. Сумма площадей BLM и LAP равна (k^2+(1-k)^2)S, где коэффициент равен 2k^2-2k+1=2(k-1/2)^2+1/2. Минимум достигается при k=1/2, и он равен S/2. Поэтому площадь оставшейся части треугольника не больше площади квадрата, равной 30^2. В итоге S>=2*30^2, откуда ясно, каково минимальное значение S.

ссылка

отвечен 12 Фев 17:36

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×427

задан
12 Фев 10:24

показан
36 раз

обновлен
13 Фев 4:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru