Назовём натуральное число представимым, если его можно представить как в виде суммы простого числа составных чисел, так и в виде суммы составного числа составных чисел, а также в виде суммы простого числа простых чисел и в виде суммы составного числа простых чисел.

В противном случае назовём натуральное число непредставимым.

Докажите, что существует ровно 17 непредставимых чисел.

задан 12 Фев 16:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

В виде суммы составного числа составных представимы только числа >=16. Поэтому числа от 1 до 15 непредставимые. Если число нечётно, и оно представимо в виде составного числа составных, то слагаемых >=4, хотя бы одно из них нечётно, то есть >=9. Сумма получается >=9+4+4+4=21. Значит, 17 и 19 также непредставимы. Осталось показать представимость остальных чисел.

В виде суммы двух составных можно представить чётное число как 4+чётное и нечётное как 9+чётное. Для чисел >=13 будет сумма двух составных. Аналогично, можно представить в виде суммы четырёх составных любое число >=21 как 4+4+4+чётное или 9+4+4+чётное для чётных и нечётных соответственно.

Число n>=8 представим в виде суммы двоек и троек. Если n=4q+r, где 0<=r<=3, то возьмём r троек и 2q-r двоек. Получится сумма 2q простых слагаемых, где 2q составное.

Случай представимости в виде простого числа простых слагаемых чуть сложнее. Будем брать также двойки и тройки. Если число слагаемых равно p, то в таком виде можно представить все числа от 2p до 3p. Поэтому нас устроило бы простое число p из отрезка [n/3,n/2]. При достаточно больших n оно всегда имеется, что является усилением постулата Бертрана и следует из чебышевских оценок п(n/2) > п(n/3). Для конечного числа небольших значений n возможна проверка вручную или на компьютере. Все числа n>=4 в таком виде представляются.

ссылка

отвечен 12 Фев 18:09

@falcao, большое спасибо!

(13 Фев 0:31) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×676
×210
×142
×72
×8

задан
12 Фев 16:34

показан
104 раза

обновлен
13 Фев 0:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru