Докажите, что для любого натурального числа $%n$% существует натуральное число $%N$% такое, что произведение $%3\cdot 5^{n}\cdot N $% представляет собой палиндром, т.е. число, десятичная запись которого справа налево и слева направо читается одинаково.

задан 12 Фев 23:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Запишем $%5^n$% в виде $%n$%-разрядного числа. Например, при $%n=4$% получится $%0625$%. Любое число, которое оканчивается этими $%n$% цифрами, будет делиться на $%5^n$%. Запишем эти же цифры в обратном порядке, потом добавим одну цифру, а потом запишем сами цифры. В примере выше мы получим $%5260a0625$%. Это палиндром, он делится на $%5^n$%, и достаточно подобрать значение цифры $%a$% так, чтобы сумма цифр делилась на $%3$%. Это всегда возможно. Дополнительно можно отметить, что сумма цифр $%n$%-разрядного числа при делении на $%3$% даёт в остатке $%1$% или $%2$%, и такая цифра подойдёт в качестве $%a$%. В нашем примере получится $%526010625$%.

ссылка

отвечен 12 Фев 23:53

1

$%3\cdot5^n=a_1...a_k,\text{ }N=\frac{a_k...a_100...0a_1...a_k}{3\cdot5^n},$% нулей $%n-k$% штук.

(13 Фев 0:04) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ: да, и такой вариант тоже годится. Идея тут примерно та же.

(13 Фев 0:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,051

задан
12 Фев 23:22

показан
108 раз

обновлен
13 Фев 0:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru