Здравствуйте! Последовательность $%\{x_n\}$% задается условиями $%x_1 = 1982$%, $%x_{n + 1} = \tfrac 1 {4 - 3x_n} (n \ge 0)$%. Найти $%\lim\limits_{n \to \infty}x_n$%.

задан 12 Фев 23:30

1

Пусть f(x)=1/(4-3x). Легко видеть, что неподвижными точками функции будут числа 1/3 и 1. Здесь x2 отрицателен и близок к нулю, x3 близок к 1/4. Если 0 < x < 1/3, то f(x) больше x и принадлежит тому же интервалу (0;1/3). Имеем возрастающую ограниченную последовательность. Она имеет предел, равный x, для которого x=f(x). Ясно, что x=1 здесь не годится, то есть x=1/3.

Обычно такие задачи решаются по стандартному "шаблону". Бывает так, что монотонной будут последовательности с чётными или нечётными номерами, но этот эффект так или иначе наблюдается.

(13 Фев 0:04) falcao

Здравствуйте! У меня, конечно, очень дурацкий вопрос, но.. почему мы начали рассуждение с поиска неподвижных точек?

(5 Мар 20:34) Math_2012
1

@Math_2012: это связано с тем, что если последовательность имеет предел x, то в рекуррентном равенстве можно перейти к пределу, и тогда x окажется неподвижной точкой. Это совершенно общий стандартный приём. Он полезен, потому что знание гипотетического значения предела помогает доказать, что он именно этому значению равен (хотя в общем случае предел может и не существовать). Но в любом случае будет верно условное высказывание типа "ЕСЛИ предел существует, ТО он равен 1/3).

(5 Мар 22:02) falcao

Здравствуйте! У меня еще один глупый вопрос. Вот Вы говорите, что "если 0 < x < 1/3, то f(x) больше x и принадлежит тому же интервалу (0;1/3). Имеем возрастающую ограниченную последовательность." Вопрос такой - у нас же не вся последовательность лежит в (0;1/3), есть x2, который не лежит?

(15 Мар 2:56) Math_2012

@Math_2012: мы сначала находим один член, который принадлежит интервалу. Это x3. Как только он "пойман", дальше за пределы его мы уже не выйдем.

(15 Мар 4:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,666
×276

задан
12 Фев 23:30

показан
142 раза

обновлен
15 Мар 4:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru