Здравствуйте! Найти $%\lim\limits_{n \to \infty}a_n$%, если $%a_1 = 1983$% и $%a_{n + 1} = \tfrac 2 {2^{a_n}}$% при $%n \ge 1$%.

задан 12 Фев 23:38

Если a(n) > 1, то a(n+1) < 1, и наоборот. Поэтому члены последовательности "колеблются" вокруг точки 1. Достаточно проверить монотонность последовательностей с чётными и нечётными номерами для достаточно больших n. Заметим, что a(n-1)=1-log_2(a(n)). Сравнивая функции f(x)=1-log_2(x) и g(x)=2^{1-x} в окрестности 1, находя их производные в этой точке, делаем вывод, что f > g по одну сторону от x=1 и f < g по другую. Отсюда легко вывести, что a(6) < a(8) < ... > a(7) > a(5) > ..., откуда следует существование общего предела, который равен 1 из уравнения x2^{x}=2.

Задачи этого типа "технические".

(13 Фев 0:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,666
×276

задан
12 Фев 23:38

показан
86 раз

обновлен
13 Фев 0:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru