Здравствуйте! Возможно, вопрос опять из той же серии, что и два предыдущих, но всё же... Последовательность $%\{x_n\}$% задана следующим образом $%x_1 = \tfrac 1 2$%, $%x_{n + 1} = x_n - x_n^2$% при $%n \ge 1$%. Доказать, что $%\lim\limits_{n \to \infty}nx_n = 1$%.

задан 12 Фев 23:47

Эта задача более интересна, чем предыдущие две. Но у меня такое ощущение, что она на форуме уже рассматривалась. Надо будет вспомнить ссылку.

(13 Фев 0:23) falcao

@falcao - мне кажется, что авторы специально запланировали эту задачу под применение теоремы Штольца. Две последовательности 1/a_n и n. Результат задачи получается впрямую из теоремы Штольца, не приходя в сознание.

(14 Фев 16:11) knop

@knop: а мне такой способ несколько "чужд", хотя я видел разные задачи, где это дело применяется. Сходу не соображу, как именно надо эту теорему применять.

(14 Фев 16:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ссылку на задачу я всё-таки нашёл. Здесь рассматривалась похожая последовательность, хотя не в точности такая же.

Положим $%y_n=\frac1{x_n}$%. Тогда $%y_1=2$% и $%y_{n+1}=\frac{y_n}{1-x_n}=\frac{y_n^2}{y_n-1}=y_n+1+\frac1{y_n-1}$%. Отсюда $%y_{n+1} > y_n+1$%, то есть $%y_n > n+1$% при $%n\ge2$%. Это оценка снизу.

Теперь $%y_{n+1} < y_n+1+\frac1n$%, откуда имеем оценку сверху $%y_n < y_{n-1}+1+\frac1{n-1} < y_{n-2}+2+\frac1{n-1}+\frac1{n-2} < \cdots < y_1+n-1+\frac1{n-1}+\frac12+\cdots+1 < n+\ln n+2$% в силу известного неравенства.

Таким образом, $%1+\frac1n< \frac{y_n}n < 1+\frac{\ln n+2}n$%, откуда $%\frac{y_n}n\to1$% при $%n\to\infty$% ввиду "леммы о двух милиционерах". Это и значит, что $%nx_n\to1$%.

ссылка

отвечен 13 Фев 3:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,314
×248

задан
12 Фев 23:47

показан
41 раз

обновлен
14 Фев 16:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru