Хочу доказать утверждение: если $%A,B$% - открытые всюду плотные множества, то $%A \cap B$% тоже всюду плотное множество.

В учебнике Виро предлагается взять произвольное открытое непустое множество $%U$% и рассмотреть равенство $%U \cap (A \cap B) = (U \cap A) \cap B$%.

Я что-то не понимаю, что с этим делать дальше.

задан 14 Фев 0:49

2

U открыто и непусто, A всюду плотно => UA (пересечение) непусто. Оно также открыто. Поскольку B всюду плотно, пересечение (UA)B непусто. Значит, U(AB) непусто для любого открытого U. Это значит, что AB всюду плотно.

(14 Фев 0:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Согласно определению вам нужно доказать, что какое бы открытое множество не взять, в нем будут точки вашего "всюду плотного" множества. Это и предлагается. Пересечение открытого множества $%U$% со всюду плотным открытым множеством $%A$% открыто и не пусто. Тогда, так как множество $%B$% всюду плотно, то пересечение $%(U \cap A) \cap B$% не пусто, а значит для любого негустого открытого $%U$% пересечение $%U \cap (A \cap B)$% не пусто, что и требовалось.

ссылка

отвечен 14 Фев 0:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×454
×151

задан
14 Фев 0:49

показан
29 раз

обновлен
14 Фев 0:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru