Условие:Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того,что в результате испытания X примет значение, заключённое в интервале (15,25)

Просьба написать решение с комментариями, спасибо.

задан 25 Мар '13 20:07

изменен 25 Мар '13 20:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%a=20$%, $%\sigma=5$%. Пусть $%X$% -- нормально распределённая случайная величина с параметрами $%a$% и $%\sigma$%. Тогда $%Y=(X-a)/\sigma$% будет нормально распределена с параметрами $%0$% и $%1$%. Условие попадания $%X$% в $%(c,d)$%, где $%c=15$%, $%d=20$%, равносильно условию попадания $%Y$% в интервал от $%(c-a)/\sigma$% до $%(d-a)/\sigma$%, то есть в $%(-1,1)$%. С учётом симметричности этого интервала, а также симметричности $%Y$%, получится удвоенная вероятность попадания в $%(0,1)$%, то есть $$\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^1e^{-t^2/2}\,dt\approx0,68,$$ то есть около $%68\%$%.

ссылка

отвечен 25 Мар '13 20:25

У меня вопрос по поводу следующих строк из вашего ответа:"....будет нормально распределена с параметрами 0 и 1"-откуда взялись эти параметры?Как их нашли?Далее:"....в интервал от (c−a)/σ до (d−a)/σ, то есть в (−1,1)."-вопрос тот же самый откуда (-1,1)??По предыдущей формуле правая граница,т.е d−a)/σ,а 20-20 уже = 0..Хотя может быть я не так понял.Ну и наконец последний интервал:..."С учётом симметричности этого интервала, а также симметричности Y, получится удвоенная вероятность попадания в (0,1)"-Откуда?Как получили этот интервал(-1,1)? И что мы ищем формулой Y=(X−a)/σ??

Спасибо,заранее!!

(25 Мар '13 21:47) student11-AM

Математическое ожидание и дисперсия у $%X$% равны $%a$% и $%\sigma^2$%, согласно условию. После вычитания $%a$% эти параметры будут равны $%0$% и $%\sigma^2$% (дисперсия от вычитания константы не меняется). Потом делим на $%\sigma$%, и дисперсия делится на $%\sigma^2$%, то есть у $%Y$% получается матожидание $%0$% и дисперсия $%1$%. По вопросу насчёт $%(-1;1)$%: это числа $%(c-a)/\sigma$% и $%(d-a)/\sigma$% -- просто подставьте в них параметры. Вместо симметричности можно рассмотреть интеграл от $%-1$% до $%1$%, но без множителя $%2$%, а потом использовать чётность функции.

(25 Мар '13 22:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуемся функцией нормального распределения $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt.$$ Искомая вероятность $$P(c\le X\le d)=P(15\le X\le 20)=F(\frac{25-20}{5})- F(\frac{15-20}{5})=$$$$=F(1)-F(-1)=F(1)-(1-F(1))=2F(1)-1=2\cdot 0,8423-1\approx 0,68.$$

alt text

ссылка

отвечен 25 Мар '13 21:16

изменен 27 Мар '13 11:08

Анатолий,а можете пояснить F(25−20)/5−F(15−20)/5-откуда эти цифры?И почему вместо F(-1) вы пишите 1-F(1)??И что вы искали по таблице? Спасибо!

(25 Мар '13 21:55) student11-AM

И где вы воспользовались функцией нормального распределения?Спасибо!

(25 Мар '13 21:58) student11-AM

1)20- математическое ожидание; 5- среднеквадратичное отклонение; 15 и 25 - границы интервала (это из условия Вашей задачи). В желтом столбике ищем 1, и на пересечении рядка с началом 1 и столбика 0,00 находим значение функции в точке 1. 2) Это свойство функции $%F(-x)=1-F(x).$%

Эти все стандартные сведения можете найти в хорошем учебнике по теории вероятностей (вместе с таблицей).

(25 Мар '13 22:25) Anatoliy

А зачем вы вначале записали функцию нормального распределения?Где вы ей воспользовались?Спасибо!

(25 Мар '13 22:34) student11-AM

Функцию записал просто для сведения, все равно интеграл неберущийся. Его значения можно посмотреть в соотв. таблице (фрагмент которой приведен). Или, скажем, рассчитать в Excel. По такой формуле:
=НОРМРАСП(25;20;5;1)-НОРМРАСП(15;20;5;1)

Здесь последний параметр (1) показывает, что надо брать проинтегрированную функцию. В этом случае можно не приводить случайную величину к стандартной (т.е. с параметрами 0; 1). Впрочем, умение приводить тоже совсем не вредно ...

(26 Мар '13 1:03) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,501

задан
25 Мар '13 20:07

показан
8279 раз

обновлен
27 Мар '13 11:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru