Чему равна $%f^{(1000)}(0)$%, где $%f(x)=\dfrac{1}{1+x+x^2+x^3}$%?

задан 14 Фев 11:44

10|600 символов нужно символов осталось
4

$%x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1)$%, тогда

$$ \frac{1}{x^3 + x^2 + x + 1 } = \frac{1 - x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2(x+1)} $$ Каждую дробь разложим в ряд Тейлора при $%|x|< 1$%, тогда $$ \frac{1 - x}{2(x^2+1)} = \frac{(1 - x)}{2}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}x^{2k} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}(x^{2k} - x^{2k+1}). $$ $$ \frac{1}{2(x+1)} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{\infty}x^k. $$ Ответом будет $%1000!a_{1000}$% в разложении в ряд. Видимо, $%a_{1000} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$%, и ответ $%1000!$%.

Может такой красивый ответ можно получить и проще?..

ссылка

отвечен 14 Фев 11:54

5

@no_exception, можно было записать $%f = \dfrac{1-x}{1-x^4}$%, чтобы не раскладывать в сумму дробей...

(14 Фев 13:03) all_exist
3

Я бы, наверное, делал по принципу $%\frac1{1+x}\cdot\frac1{1+x^2}=(1-x+x^2-x^3+\cdots)(1-x^2+x^4-x^6+\cdots)$%, потому что это самое первое, что приходит в голову. Но там надо что-то анализировать, много членов сокращается. Объективно проще всего увидеть ответ через то, что написал @all_exist.

(14 Фев 16:54) falcao
1

@falcao, потому что это самое первое, что приходит в голову - всем в голову разное пришло... )))

(14 Фев 19:29) all_exist
1

@all_exist: да, я потому и сказал, что разное. Имелось в виду, что это мне такое пришло в голову сразу после прочтения. Ничего лучшего при этом я даже не искал, хотя оно есть.

(14 Фев 22:06) falcao

@falcao, @all_exist, @no_exception, всем большое спасибо!

(15 Фев 0:23) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Решил обойтись без использования рядов и вот что получилось:

$%y(1+x+x^2+x^3)=1$% беря n-ую производную от обоих частей по формуле Лейбница получаем: $%y^{(n)}(1+x+x^2+x^3)+y^{(n-1)}(1+2x+3x^2)n+y^{(n-2)}(2+6x)n(n-1)/2+y^{(n-2)}n(n-1)(n-2)=0$%

подставляя x=0 получаем рекуррентную формулу: $%y^{(n)}=-n(y^{(n-1)}+y^{(n-2)}(n-1)+y^{(n-2)}(n-1)(n-2))$% с начальными условиями $%y^{(0)}=1; y^{(1)}=-1; y^{(2)}=0; y^{(3)}=0$%

как же найти решение этого рекуррентного соотношения, если не угадывать заранее?

ссылка

отвечен 16 Фев 2:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×572
×196
×139
×6
×1

задан
14 Фев 11:44

показан
152 раза

обновлен
16 Фев 2:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru