Сравните числа

$% ( 7^{1000} + 7^{999}+...+7+1) ^{1001}$% и $%( 7^{1001} + 7^{1000}+...+7+1) ^{1000}$%

задан 14 Фев 17:43

10|600 символов нужно символов осталось
4

Положим для удобства $%n=1000$%. По формуле суммы членов геометрической прогрессии, $%1+7+7^2+\cdots+7^n=\frac{7^{n+1}-1}{7-1}=\frac{7^{n+1}-1}6$%. Аналогично, $%1+7+7^2+\cdots+7^{n+1}=\frac{7^{n+2}-1}6$%. Первое число равно $%\frac{(7^{n+1}-1)^{n+1}}{6^{n+1}}$%; второе равно $%\frac{(7^{n+2}-1)^n}{6^n}$%.

Умножим теперь оба числа на $%6^{n+1}$% и преобразуем их соответственно как $%7^{n^2+2n+1}(1-7^{-(n+1)})^{n+1}$% и $%6\cdot7^{n^2+2n}(1-7^{-(n+2)})^n$%. Достаточно доказать, что последние сомножители-степени в обоих выражениях очень близки к единице. Тогда окажется, что первое число примерно в $%\frac76$% раз больше второго, то есть первое из чисел больше.

Применим неравенство Бернулли в виде $%(1+x)^m > 1+mx$% при $%x\ge-1$%, $%m > 1$%. Это даст $%(1-7^{-(n+1)})^{n+1} > 1-(n+1)7^{-(n+1)}$%. Поскольку $%n+1 < 7^4$%, получается оценка снизу $%1-7^{-n-3} > \frac67$% (если совсем грубо). Таким образом, первое из чисел больше $%6\cdot7^{n^2+2n}$%. Для второй из степеней достаточно очевидной оценки сверху $%(1-7^{-(n+2)})^n < 1$%.

ссылка

отвечен 14 Фев 18:19

@falcao: Извините пожалуйста, но я не очень понял, почему: "Поскольку $%n+1 < 7^4$%, получается оценка снизу $%1-7^{-n-3} > \frac67$% (если совсем грубо)". Не могли бы Вы мне подробнее объяснить, если это Вас не затруднит. Я не понял откуда появилось $%1-7^{-n-3}$% и $%\frac67$% Заранее благодарен. С уважением.

(14 Фев 20:40) serg55
1

@serg55: заменим $%n$% на $%1000$%. Утверждается, что $%1-\frac{1001}{7^{1001}} > 1-\frac{7^4}{7^{1001}}=1-\frac1{7^{977}} > 1-=\frac17=\frac67$%. Одно неравенство следует из того, что $%1001 < 2401=7^4$% (грубо оценили число степенью семёрки). Последнее вытекает из того, что $%7^{997} > 7^1=7$%. Оценка чрезвычайно грубая, но её здесь хватает. Оба этих перехода совершенно очевидны в смысле проверки истинности неравенств.

(14 Фев 21:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Некоторый альтернативный взгляд. Мне кажется, здесь подход @falcao (несомненно, более общий и мощный) логично дополнить стандартной комбинаторикой. Действительно, слева и справа написаны суммы каких-то степеней семёрки. Каких именно степеней и в каком количестве?

Самая старшая степень, которая получается после раскрытия скобок -- $%7^{1001\cdot1000}$%. Такая степень ровно одна и слева, и справа, поэтому на нее сразу сокращаем. Смотрим дальше.

Следующая степень слева - когда из 1000 скобок берется максимальное слагаемое $%7^{1000}$%, а из одной - следующее $%7^{999}$%. Очевидно, что эта степень на 1 меньше максимальной. Но и справа следующая степень на 1 меньше максимальной, поэтому осталось сравнить коэффициенты. Слева это 1001, справа 1000. Поэтому левая часть больше.

Ровно то же самое будет для по крайней мере 999 последующих степеней (очевидно, что и там, и там в качестве слагаемых после раскрытия скобок, но до приведения подобных, присутствуют все степени 7), причем слева биномиальный коэффициент будет больше, потому что большим будет его нижний индекс.

На самом деле вообще ВСЕ коэффициенты слева больше. Вот демонстрация того, что все коэффициенты разности положительны. Разумеется, для меньшей степени: $$ \begin{equation} (x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^6 - (x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^5 = \\ x + 6 x^2 + 21 x^3 + 56 x^4 + 126 x^5 + 246 x^6 + 431 x^7 + 691 x^8 + \\ +1026 x^9 + 1421 x^{10} + 1841 x^{11} + 2241 x^{12} + 2576 x^{13} + 2801 x^{14} + \\ +2881 x^{15} + 2801 x^{16} + 2576 x^{17} + 2241 x^{18} + 1841 x^{19} + 1421 x^{20} + 1026 x^{21}+\\ + 691 x^{22} + 431 x^{23} + 246 x^{24} + 126 x^{25} + 56 x^{26} + 21 x^{27} + 6 x^{28} + x^{29} \\ \end{equation} $$

ссылка

отвечен 14 Фев 19:28

@knop: насчёт того, что все коэффициенты одной производящей функции не уступают коэффициентам другой -- это интересное наблюдение. На базе него можно составить неплохую комбинаторную задачу. Есть, допустим, 6-значные билеты с цифрами от 0 до 5, и 5-значные с цифрами от 0 до 6. Надо доказать, что для любого заданного значения суммы цифр, билетов первого типа не меньше. Здесь неплохо было бы построить "естественную" инъекцию одного множества в другое, работая с "гистограммами".

(14 Фев 22:05) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,884

задан
14 Фев 17:43

показан
41 раз

обновлен
14 Фев 22:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru