Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как доказать все векторы, у которых компоненты с четными номерами равны между собой (P^n) образуют линейные подпространства. И как найти базис и размерность?

Заранее спасибо!

задан 14 Фев '18 21:15

@Артем Валерь...: подпространство здесь рассматривается всего одно, поэтому говорить надо в единственном числе.

(14 Фев '18 22:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Проверку того, что какие-то векторы образуют подпространство, можно осуществлять по известному критерию. Но есть и другой способ, который удобен тогда, когда надо заодно найти базис и размерность. Для начала надо записать общий вид вектора из рассматриваемого множества. Здесь он выглядит так: $%(x_1,x_2,x_3,x_2,x_5,x_2,\ldots)$%, где на чётных местах везде стоит $%x_2$%. Такой вектор естественным образом раскладывается в сумму $%x_1(1,0,0,0,0,\ldots)+x_2(0,1,0,1,0,\ldots)+x_3(0,0,1,0,0,\ldots)+x_5(0,0,0,0,1,\ldots)+\cdots$%. Чтобы не писать "длинных" векторов с координатами, удобно использовать стандартные обозначения для единичных векторов $%e_i$%, у которых на $%i$%-м месте находится $%1$%, а остальные координаты нулевые. Тогда наш вектор примет вид $%x_2(e_2+e_4+e_6+\cdots)+x_1e_1+x_3e_3+x_5e_5+\cdots$%.

Отсюда следует, что рассматриваемое множество векторов есть линейная оболочка системы $%e_2+e_4+e_6+\cdots$%, $%e_1$%, $%e_3$%, $%e_5$%, ... . Отсюда сразу следует, что мы имеем дело с подпространством. Указанная система является его базисом, так как представление в виде линейной комбинации существует и единственно (существование показано, а единственность следует из того, что если мы поменяем хотя бы один коэффициент при векторах системы, то сам исходный вектор изменится).

Размерность равна числу векторов базиса. Оно равно $%[\frac{n+3}2]$%, где квадратные скобки означают целую часть. Это легко проверяется рассмотрением случаев нечётного и чётного $%n$%.

ссылка

отвечен 14 Фев '18 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×156

задан
14 Фев '18 21:15

показан
1002 раза

обновлен
14 Фев '18 22:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru