|
Вышел у меня небольшой спор с преподавателем. Я считаю, что если $$ \sin a = b =>\, \arcsin b = a+2 \pi k $$ Преподаватель утверждает, что $$ \sin a = b =>\, \arcsin b = a$$ Какой ответ верный? Как избежать конфликта на почве учебного спора? Я рассуждал так: sin - функция с периодом $%2\Pi$%, то значения синусов от углов $%a+ 2\Pi k$% совпадают. Откуда сделал вывод, что $%a+2\Pi k_1= arcsin b$%, а если подбирать $%k=-k_1$% получаем: $%a=\arcsin b + 2\Pi k$% задан 5 Фев '12 16:45 
chipnddail
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Не правы ни вы, ни преподаватель. Пусть $%a=\pi$% тогда $%sin a=0$% и $%arcsin b=0$%. Поделим $%a$% на $%2\pi$% с остатком, но не от $%0$% до $%2\pi$%, а от $%-\pi$% до $%\pi$%. Тогда если остаток между $%-\pi/2$% и $%\pi/2$%, то $%arcsin b=a-2\pi\ast k$%, где $%k$% частное, а иначе $%arcsin b=(\pm)\pi +a-2\pi\ast k$%. отвечен 5 Фев '12 17:54 
dmg3 |
|
Предполагаю, что "связь между синусом и арксинусом" можно выразить так: $% (1) \ \ \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = \arcsin(x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \ )$% Высказывание $%(1)$% равносильно следующему высказыванию $% (2) \ \ \forall x \forall y ( x \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y \in [-1, 1] \rightarrow (y = \sin(x) \leftrightarrow x = \arcsin(y)) \ )$% Кроме того, высказывание $%(1)$% можно преобразовать следующим образом: $% \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = \arcsin(x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \ )$% $%\Leftrightarrow \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x) \leftrightarrow x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge x = \sin(y))$% $%\Leftrightarrow \forall x \forall y ( \langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x) \leftrightarrow \langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1] \wedge x = \sin(y))$% $%\Leftrightarrow \{\langle x, y \rangle| \ \langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x)\} = \{\langle y, x \rangle| \ \langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1] \wedge x = \sin(y)\}$% $%\Leftrightarrow \{\langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]| \ y = \arcsin(x)\} = \{\langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1]| \ x = \sin(y)\}$% Наконец, $% \begin {cases} a \in [-1, 1] \rightarrow (\sin(x) = a \leftrightarrow \exists k (k \in \mathbb{Z} \wedge x \in \{\pi \cdot 2k + \arcsin(a), \pi \cdot (2k + 1) - \arcsin(a)\}) \ )\\ a \in (- \infty, -1) \cup (1, \infty) \rightarrow (\sin(x) = a \leftrightarrow x \in \varnothing) \end {cases}$% отвечен 7 Май '12 4:04 
Галактион |
|
Оба ответа неверные: $%a$% может быть одним из значений $%(-1)^k \ast arcsin(b)+k\pi$%, $%k \in Z , (arcsin(b) \in [-\pi/2;\pi/2])$%. отвечен 5 Фев '12 17:59 
Anatoliy aapetrov3 и Anatoliy, можно ли поподробнее. Может быть в почту или как-то еще
(5 Фев '12 18:06)
chipnddail
|
|
Если $%a\in[-\pi/2;\pi/2]$% , то по определению арксинуса $% arcsinb=a $%. Eсли $%a\notin[-\pi/2;\pi/2]$% , тогда существует $%k\in Z $% такое, что $%a-\pi k\in[-\pi/2;\pi/2]$% . Притом если $%k$% четное число, то $%arcsinb=a-\pi k$%, a если $% k$% нечетное число, то $% arcsinb=\pi k -a$% . Одной формулой $% arcsinb=(-1)^k (a-\pi k), k\in Z $% где $% a-\pi k\in [-\pi/2;\pi/2]$% . отвечен 9 Фев '12 0:13 
ASailyan |
Преподаватель-Молодец! Есть пословица, что учитель должен знать на рубль, чтобы рассказать на копейку. А тут копейка в копейку и никакой сдачи.
Кстати, существует еще и $%Arcsin$% (с большой буквы) - многозначная функция. Вот для нее верно высказывание учителя.
Для нее, скорее, прав автор, но только наполовину (т.к. сможет найти по своей формуле только половину всех значений Arcsin).
По определению $%Arcsin $% - многозначное отображение, обратное к синусу. Т.е. $%Arcsin x$% принимает все значения y, являющиеся решениями уравнения $%\sin y = x$%. Другое дело, как понимать в этом случае равенство. Скорее можно было бы написать, что $%a = Arcsin b$%
Простите, если $%\sin(a) = b$%, то $%Arcsin(b) = (a +2k\pi) \vee (\pi-a+2n\pi) $%, разве не так?
Разумеется, так. Просто я пыталась хоть как-то "реабилитировать" учителя.
Что касается равенства между числом и многозначной функцией, его можно понимать по-разному. Собственно, это включение. С этой точки зрения записать a = Arcsin b можно.
Я здесь вывешивала вопрос про использование знака "=".