Вышел у меня небольшой спор с преподавателем. Я считаю, что если

$$ \sin a = b =>\, \arcsin b = a+2 \pi k $$

Преподаватель утверждает, что

$$ \sin a = b =>\, \arcsin b = a$$

Какой ответ верный? Как избежать конфликта на почве учебного спора?

Я рассуждал так: sin - функция с периодом $%2\Pi$%, то значения синусов от углов $%a+ 2\Pi k$% совпадают. Откуда сделал вывод, что $%a+2\Pi k_1= arcsin b$%, а если подбирать $%k=-k_1$% получаем: $%a=\arcsin b + 2\Pi k$%

задан 5 Фев '12 16:45

изменен 5 Фев '12 18:15

1

Преподаватель-Молодец! Есть пословица, что учитель должен знать на рубль, чтобы рассказать на копейку. А тут копейка в копейку и никакой сдачи.

(6 Фев '12 20:07) ValeryB

Кстати, существует еще и $%Arcsin$% (с большой буквы) - многозначная функция. Вот для нее верно высказывание учителя.

(8 Май '12 2:06) DocentI

Для нее, скорее, прав автор, но только наполовину (т.к. сможет найти по своей формуле только половину всех значений Arcsin).

(11 Май '12 22:57) Андрей Юрьевич

По определению $%Arcsin $% - многозначное отображение, обратное к синусу. Т.е. $%Arcsin x$% принимает все значения y, являющиеся решениями уравнения $%\sin y = x$%. Другое дело, как понимать в этом случае равенство. Скорее можно было бы написать, что $%a = Arcsin b$%

(12 Май '12 8:20) DocentI

Простите, если $%\sin(a) = b$%, то $%Arcsin(b) = (a +2k\pi) \vee (\pi-a+2n\pi) $%, разве не так?

(12 Май '12 13:10) Андрей Юрьевич

Разумеется, так. Просто я пыталась хоть как-то "реабилитировать" учителя.
Что касается равенства между числом и многозначной функцией, его можно понимать по-разному. Собственно, это включение. С этой точки зрения записать a = Arcsin b можно.
Я здесь вывешивала вопрос про использование знака "=".

(12 Май '12 13:21) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Не правы ни вы, ни преподаватель. Пусть $%a=\pi$% тогда $%sin a=0$% и $%arcsin b=0$%. Поделим $%a$% на $%2\pi$% с остатком, но не от $%0$% до $%2\pi$%, а от $%-\pi$% до $%\pi$%. Тогда если остаток между $%-\pi/2$% и $%\pi/2$%, то $%arcsin b=a-2\pi\ast k$%, где $%k$% частное, а иначе $%arcsin b=(\pm)\pi +a-2\pi\ast k$%.

ссылка

отвечен 5 Фев '12 17:54

изменен 5 Фев '12 18:04

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предполагаю, что "связь между синусом и арксинусом" можно выразить так:

$% (1) \ \ \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = \arcsin(x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \ )$%

Высказывание $%(1)$% равносильно следующему высказыванию

$% (2) \ \ \forall x \forall y ( x \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y \in [-1, 1] \rightarrow (y = \sin(x) \leftrightarrow x = \arcsin(y)) \ )$%

Кроме того, высказывание $%(1)$% можно преобразовать следующим образом:

$% \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \rightarrow (y = \arcsin(x) \leftrightarrow x = \sin(y)) \ )$%

$%\Leftrightarrow \forall x \forall y ( x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x) \leftrightarrow x \in [-1, 1] \wedge y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge x = \sin(y))$%

$%\Leftrightarrow \forall x \forall y ( \langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x) \leftrightarrow \langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1] \wedge x = \sin(y))$%

$%\Leftrightarrow \{\langle x, y \rangle| \ \langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \wedge y = \arcsin(x)\} = \{\langle y, x \rangle| \ \langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1] \wedge x = \sin(y)\}$%

$%\Leftrightarrow \{\langle x, y \rangle \in [-1, 1] \times [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]| \ y = \arcsin(x)\} = \{\langle y, x \rangle \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \times [-1, 1]| \ x = \sin(y)\}$%

Наконец,

$% \begin {cases} a \in [-1, 1] \rightarrow (\sin(x) = a \leftrightarrow \exists k (k \in \mathbb{Z} \wedge x \in \{\pi \cdot 2k + \arcsin(a), \pi \cdot (2k + 1) - \arcsin(a)\}) \ )\\ a \in (- \infty, -1) \cup (1, \infty) \rightarrow (\sin(x) = a \leftrightarrow x \in \varnothing) \end {cases}$%

ссылка

отвечен 7 Май '12 4:04

изменен 12 Май '12 9:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Оба ответа неверные: $%a$% может быть одним из значений $%(-1)^k \ast arcsin(b)+k\pi$%, $%k \in Z , (arcsin(b) \in [-\pi/2;\pi/2])$%.

ссылка

отвечен 5 Фев '12 17:59

изменен 6 Фев '12 21:05

aapetrov3 и Anatoliy, можно ли поподробнее. Может быть в почту или как-то еще

(5 Фев '12 18:06) chipnddail
10|600 символов нужно символов осталось
0

Из определения следует ,что arcsin (а) - это такой угол $%\alpha \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}2] sin \alpha = a$%.Поэтому никто из вас не прав.

ссылка

отвечен 6 Фев '12 17:05

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если $%a\in[-\pi/2;\pi/2]$% , то по определению арксинуса $% arcsinb=a $%.

Eсли $%a\notin[-\pi/2;\pi/2]$% , тогда существует $%k\in Z $% такое, что $%a-\pi k\in[-\pi/2;\pi/2]$% .

Притом если $%k$% четное число, то $%arcsinb=a-\pi k$%, a если $% k$% нечетное число, то $% arcsinb=\pi k -a$% .

Одной формулой $% arcsinb=(-1)^k (a-\pi k), k\in Z $% где $% a-\pi k\in [-\pi/2;\pi/2]$% .

ссылка

отвечен 9 Фев '12 0:13

изменен 12 Май '12 1:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×766

задан
5 Фев '12 16:45

показан
5973 раза

обновлен
12 Май '12 13:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru