Известно, что для любого натурального числа $%n$% верна формула:

$%cos(n \alpha )= 2^{n-1}\cdot (cos \alpha )^{n}+ a_{n-1}\cdot (cos \alpha) ^{n-1} + a_{n-2}\cdot (cos \alpha) ^{n-2} +...+ a_{1}\cdot (cos \alpha) + a_{0}$%

Здесь $% a_{k} $% - целые числа, и $% a_{0}=0 $% при нечётном $%n$%. Докажите,что при $%n \geq 4$% числа $%cos( \frac{ \pi }{n})$% и $%sin( \frac{ \pi }{n})$% иррациональны.

задан 14 Фев 22:31

изменен 14 Фев 23:36

А что $%a_0$%? Равно нулю при нечетном $%n$% что ли?

(14 Фев 23:19) no_exception

@no_exception: да, это имелось в виду. То есть пропущено "=0".

(14 Фев 23:36) falcao

Извините, исправил.

(14 Фев 23:36) serg55

См. здесь достаточно подробное обсуждение этого вопроса. Если можно использовать чуть более сильные факты, то доказательство примерно такое. Число 2cos ф=e^{iф}+e^{-iф} является целым алгебраическим, то есть является корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. (При желании можно указать явный вид такого многочлена.) Если оно рационально, то по известной теореме оно имеет вид k/m, где k делит свободный член и m делит старший коэффициент. Тогда оно целое. Значит, косинус равен 0, 1, -1, 1/2 или -1/2, а с такими углами всё ясно.

(15 Фев 0:03) falcao

@falcao: Извините пожалуйста, но я, к сожалению, ничего не понял. Наверное тупой. Эта задача из Олимпиады школьников на базе ведомственных образовательных учреждений от 11.02.2018 и мне кажется, что такое сложного доказательства, как приведено в Вашей ссылке, вряд ли возможно. А комплексные числа, на которые, как я понял Вы ссылаетесь в своём комментарии, я не уверен, что это школьная программа. Или я совсем не понял Ваш ответ в комментариях? Тогда ещё раз извините. И я не понимаю вообще какая связь между заданной формулой и тем, что надо доказать. Заранее благодарен. С уважением.

(15 Фев 13:53) serg55

@serg55: я тоже думаю, что авторы задачи не имели в виду чего-то совсем уж сложного. Однако я дал ссылку на некое "расширенное" понимание этого вопроса. В том числе на соображения из "университетского" курса алгебры. Что касается решения задачи "слабыми средствами", то я вижу здесь такой путь: доказать, что 2cos(п/n) является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1. То есть слегка усилить само вспомогательное утверждение. Отсюда всё уже легко следует, так как удвоенный косинус при этом должен быть целым.

(15 Фев 14:46) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,010

задан
14 Фев 22:31

показан
106 раз

обновлен
15 Фев 14:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru