Как определить скорость сходимости, решая методом простой итерации $% x_{n+1} = e ^{-x_n}$% уравнения $%x + lnx = 0$%.

задан 14 Фев 22:59

@Rcr9: посмотрите теорию этого дела здесь. Уравнение записывается в виде x=ф(x), где ф(x)=e^{-x}. Для оценки скорости сходимости надо оценить |ф'(x)|=e^{-x} в окрестности точки, являющейся решением. Ясно, что решение этого уравнения положительно. Нетрудно также проверить, что оно больше 1/2. Отсюда следует, что модуль производной меньше q=1/sqrt(e) < 0,7. Дальше всё в соответствии с теорией.

(14 Фев 23:35) falcao

@falcao |xn+1 - 0.5| <= 0.7 |xn - 0.5|. |e^(-xn) - 0.5| <= 0.7 | xn - 0.5| . как из этого можно найти скорость сходимости? или оценить..

(14 Фев 23:58) Rcr9

@Rcr9: здесь не 0,5 надо брать, а x0, то есть тот корень, который мы ищем. Отсюда следует, что точность приближения итераций к значению корня оценивается сверху как убывающая геометрическая прогрессия. Это и есть обычная оценка для скорости сходимости. В учебнике это всё изложено.

(15 Фев 0:06) falcao

@falcao мне не нужно находить корень, именно нужно узнать как быстро сойдеться метод если взять x0 = 0.6

(15 Фев 0:09) Rcr9

@Rcr9: здесь должна быть задана требуемая точность. Пусть это eps. Мы не можем точно сказать, что она будет достигнута на таком-то шаге, но можем вывести неравенства, из которых будет следовать оценка. Типа того, что не позднее n-го шага итерации она станет меньше eps.

Сказанного здесь достаточно, так как начальная точность чему-то равна (скажем, 0,1, или на худой конец 1). Каждый раз она умножается на коэффициент 0,7 (или лучше). Остаётся записать неравенство типа 0,1*0,7^n < eps. Можно брать также готовую формулу, которую привёл @no_exception. Полезно также посмотреть учебник.

(15 Фев 0:19) falcao

@falcao под заданной точностью видимо понимается |xk+1 - xk|

(15 Фев 0:31) Rcr9

@Rcr9: под заданной точностью понимается заданная точность (в буквальном смысле). Никто же заранее не знает, хотим мы найти решение с точностью 10^{-3} или 10^{-6}.

(15 Фев 0:40) falcao

@falcao пришел к уравнению |xn - 0.6| < e^{-0.6} * |xn-1 - 0.6|^b . где b это число которое показывает скорость сходимости, взято из википедии. Не понимаю как из этого ее вычислить или оценить численно....

(17 Фев 0:37) Rcr9

@Rcr9: здесь уже вся необходимая содержательная информация дана. Никаких дополнительных формул не надо -- это только запутает дело. "Скорость сходимости" лучше понимать на менее формальном уровне.

Под заданной точностью не может пониматься |x_{k+1}-xk|, потому что k ничему конкретному не равно.

(17 Фев 0:52) falcao

@falcao из неравенства |xn - x| <= q^n |x0 - x| мы можем сказать что xn - x это eps, а x0 - x это число на сколько отличается начальное значение от нашего конечного x*, пускай это будет 1. Тогда eps <= q^n . Где n - по сути кол-во итераций, которое показывает скорость сходимости?

(вчера) Rcr9

@falcao где q = ф'(x*)

(вчера) Rcr9

@Rcr9: я это всё уже объяснял выше. Мы ходим кругами по одному и тому же месту. Есть уравнение, которой "точно" не решается. Тогда его решают приближённо. Математик спрашивает "заказчика": Вам с какой точностью? Тот отвечает: с точностью eps=10^{-6}. Тогда математик задаёт себе вопрос, сколько итераций для этого хватит. Он к неравенству |x_n-x|<=q^n|x_0-x| < q^n (при |x0-x| < 1)справа дописывает "< eps", то есть это не левая часть, а её оценка. А потом решает неравенство q^n < eps при помощи логарифмов. Получится n > n0, и округляем n0 вверх до целого.

(вчера) falcao

@falcao все, теперь понял

(вчера) Rcr9
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
0

Оценка стандартно следует из доказательства метода сжимающих отображений. $$ \rho(x_n, x_0) \leq \frac{\alpha^n}{1 - \alpha}\rho(x_1, x_0), $$ где $%\alpha$% берется из определения сжимающего отображения $$ \rho(Ax, Ay) < \alpha\rho(x,y). $$

ссылка

отвечен 14 Фев 23:15

изменен 14 Фев 23:29

p(Ax, Ay) и p(x,y) как вычисляются?

(14 Фев 23:19) Rcr9

$%\rho(x,y) = |x - y|$%

(14 Фев 23:20) no_exception

@no_exception а p(Ax, Ay) ?

(14 Фев 23:24) Rcr9

В вашем случае $%Ax = e^{-x}$%

(14 Фев 23:28) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,884
×24

задан
14 Фев 22:59

показан
60 раз

обновлен
вчера

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru