Доказать, что чтобы сумма подпространств L1,...Lp была прямой, необходимо, чтобы пересечение каждых подпространств было 0. данное условие является достаточным или нет?

задан 16 Фев '18 21:54

Не является. Если подпространств три, то надо, чтобы сумма любых двух из них в пересечении с третьим давала {0}. Аналогично для остальных случаев. Если попарные пересечения нулевые, то этого мало -- достаточно рассмотреть три прямые в R^3.

(16 Фев '18 22:21) falcao

@falcao, спасибо за ответ. Как я понял доказательство утверждения следующее: пересечение L1 и L2  = 0, следовательно пересечение L1+L2 c L3 = 0. L1+L2+L3 с L4 = 0..... => L1+L2+...+Lp = 0. Д достаточности необходимо, чтобы еще dim L1 + dim L2 + dim L3 +...+ = dim(L1+L2+L3+....)?

(16 Фев '18 22:44) Артемон

@Артемон: если пересечение L1 и L2 равно нулю, то отсюда не следует, что пересечение L1+L2 с L3 равно нулю! А запись L1+...+Lp=0 и вовсе бессмысленна -- ведь это означало бы, что все подпространства у нас нулевые.

Если сумма прямая, то размерность суммы равна сумме размерностей.

(16 Фев '18 23:04) falcao

@falcao тогда я не понимаю как строго доказать данное утверждение и чего не хватает до достаточности...

(16 Фев '18 23:25) Артемон

@Артемон: до достаточности не хватает более сильного условия, которое я привёл выше. То, что любая пара пространств при этом пересекается по нулю, очевидно. Но это значит, что условие необходимо. То, что оно не достаточно, следует из наличия контрпримера с тремя прямыми в R^3.

(16 Фев '18 23:30) falcao

@falcao понял, а как само утверждение доказать?

(16 Фев '18 23:34) Артемон

@Артемон: любой вектор из L1+L2+... представим в виде суммы векторов v1+v2+..., где v1 из L1, v2 из L2, ... и так далее. Сумма называется прямой, если такое представление для любого вектора единственно. Допустим, что L1 и L2 имеют в пересечении ненулевой вектор v. Тогда он представляется и в виде v+0+0+..., и в виде 0+v+0+..., что нарушает единственность.

Примерно так же доказывается более сильное свойство, которое будет уже и необходимым, и достаточным (что каждое подпространство имеет нулевое пересечение с суммой всех остальных, а не только одного из них).

(16 Фев '18 23:43) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×165

задан
16 Фев '18 21:54

показан
536 раз

обновлен
16 Фев '18 23:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru