Вписанная в трапецию окружность пересекает её диагонали в точках $%A; B; C; D$%. Докажите, что сумма длин дуг $%\breve{BA}+ \breve{DC}$% больше суммы длин дуг $%\breve{AD} + \breve{CB}$%.

alt text

задан 16 Фев '18 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пускай $%A_1,B_1,C_1,D_1$% - соответствующие вершины трапеции, $%O$% - точка пересечения диагоналей, $%OA_1=a,OB_1=1,OC_1=ka,OD_1=k$%. Предположим, что угол $%A_1OB_1$% острый. Тогда $$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{k^2a^2+k^2}>A_1B_1+C_1D_1=A_1D_1+B_1C_1>\sqrt{a^2+k^2}+\sqrt{k^2a^2+1},$$ $$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{k^2a^2+k^2}>\sqrt{a^2+k^2}+\sqrt{k^2a^2+1}.$$ Последнее неравенство сводится к неравенству $$0>(k^2-1)^2a^2.$$ Противоречие.

ссылка

отвечен 17 Фев '18 2:29

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

$$\cup_{12}+\cup_{34}=2R \cdot\alpha\ , \cup_{23}+\cup_{41}=2R \cdot \beta$$

$%\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{DN}{AN}\Rightarrow$% тoчки $%K, M, O, N -$% лежат на вертикали.

$%\angle COD=90^o $% и вертикаль $%KN$% касается окружность $%\omega $% , поэтому $%\alpha \le \dfrac{\pi}{2} \ ,\ \beta \ge \dfrac{\pi}{2}$%.

ссылка

отвечен 17 Фев '18 13:51

@Sergic Primazon: этот способ решения мне больше всего понравился. Я сам пытался рассуждать примерно так же до какого-то момента, но упустил из виду, что точки M и O лежат на одной вертикали. Не знал, что это вообще верно, хотя отсюда всё уже просто следует.

(17 Фев '18 19:35) falcao

@Sergic Primazon: Ваш способ решения мне также больше понравился.

(18 Фев '18 0:57) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно, что $%\angle A_1OD_1= \angle B_1OC_1=90^o$% ...

Дальше показываем, что $%\angle A_1OA < \angle C_1OC$% и $%\angle B_1OB < \angle D_1OD$%, что и даёт требуемое утверждение...

alt text

ссылка

отвечен 17 Фев '18 11:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
16 Фев '18 22:15

показан
460 раз

обновлен
18 Фев '18 0:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru