Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как доказать следующее утверждение для квадратной матрицы: все матрицы, у которых каждая строчная и каждая столбцовая суммы равны единице, образуют линейное многообразие. И как найти их размерность?

задан 16 Фев '18 22:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Условия каждая строчная и каждая столбцовая суммы равны единице для матрицы $%n\times n$% дают $%2n$% уравнений, связывающие элементы матрицы...

Очевидно, что сумма уравнений для строк и сумма уравнений для столбцов дают одинаковый результат... то есть уравнения зависимы... При этом можно показать, что ранг матрицы коэффициентов равен $%2n-1$% ... Итого, получаем одномерное многообразие...

ссылка

отвечен 16 Фев '18 23:10

@all_exist: число переменных равно n^2, поэтому многообразие будет иметь размерность n^2-(2n-1)=(n-1)^2.

@Артем Валерь...: если взять матрицу nxn и свободно заполнить в ней числами подматрицу (n-1)x(n-1), то остальные числа определяются однозначно. Поэтому получается линейное многообразие размерности (n-1)^2.

(16 Фев '18 23:26) falcao

@all_exist @falcao спасибо за ответы! Только не могу понять, как из этого следует, что они образуют линейное многообразие?

(16 Фев '18 23:35) Артем Валерь...

мдя... с размерностью я тупанул... (((( ...

(16 Фев '18 23:46) all_exist

@Артем Валерь...: пример линейного многообразия: множество точек вида (x,y,z), где x+y+z=1. Зафиксируем один вектор из него -- скажем, (1,0,0). Тогда получится сумма вида (1,0,0)+(a,b,c), где a+b+c=0. То есть линейное подпространство, "сдвинутое" на вектор.

С таблицами всё то же самое. Скажем, для матриц 3x3 будет 4 свободных переменных a11, a12, a21, a22, а всё остальное выражается через линейные уравнения. Это всегда линейное многообразие. Формально, это матрицы вида E+A, где у A суммы по строками и столбцам равны 0, а это линейное подпространство.

(16 Фев '18 23:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×16

задан
16 Фев '18 22:59

показан
419 раз

обновлен
16 Фев '18 23:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru