теория-вероятностей - Задача на закон равномерной плотности.

Плотность равномерно распределённой на $%(a,b)$% случайной величины $%X$% равна $%p(x)=1/(b-a)$% на этом интервале, и нулю вне его. Математическое ожидание есть интеграл от функции $%xp(x)$%, то есть $$MX=\frac1{b-a}\int\limits_a^bx\,dx=\frac{a+b}2.$$ (То же самое, впрочем, ясно сразу из соображений симметрии: среднее значение находится посередине между $%a$% и $%b$%.)

Далее, математическое ожидание квадрата той же случайной величины равно интегралу от функции $%x^2p(x)$%, то есть $$MX^2=\frac1{b-a}\int\limits_a^bx^2\,dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}3.$$ Наконец, дисперсия равна $$DX=MX^2-(MX)^2=\frac{(b-a)^2}{12}.$$ Среднеквадратическое отклонение есть корень из дисперсии, то есть $%(b-a)/\sqrt{12}$%.

Для $%a=2$%, $%b=8$% матожидание $%m=(8+2)/2=5$%, среднеквадратическое отклонение $%\sigma=6/\sqrt{12}=\sqrt{3}$%.

При желании, этот ответ можно получить из более простых соображений, если с самого начала перейти от $%X$% к $%X-MX$%, но это не принципиально.