Пусть $%5^{k} \le n < 5^{k+1}$% ($%k$% - натуральное число), а $%m$% - число нулей, на которое оканчивается $%n!$%. Доказать, что верно неравенство: $%4m \le n - \frac{n}{5^{k}}$%.

задан 17 Фев '18 15:41

10|600 символов нужно символов осталось
4

Воспользуйтесь тем, что

$$m=[\frac{n}{5}]+[\frac{n}{5^2}]+[\frac{n}{5^3}]+...+[\frac{n}{5^{k+1}}]$$

Квадратными скобками $%[x]$% тут обозначена целая часть числа $%x$% . А число $%m$% равно наибольшей степени пятерки, на которую делится $%n!$%.

ссылка

отвечен 17 Фев '18 16:01

изменен 17 Фев '18 16:27

@Witold2357: хотя написанное Вами равенство верно, но лучше было бы в качестве последнего слагаемого привести [n/5^k], потому что следующее за ним уже заведомо нулевое.

(17 Фев '18 17:30) falcao

@Witold2357, скажите, пожалуйста, где можно посмотреть доказательство этого равенства?

(17 Фев '18 18:57) sobolevaekat...

@sobolevaekat...: оно достаточно общеизвестное. Во многих олимпиадных сборниках встречается задача типа "сколькими нулями оканчивается число n!" (при тех или иных значениях n). Ясно, что всё зависит от того, на какую степень 5 делится факториал, так как показатель степени при 2 будет ещё больше. Смотрим: среди чисел от 1 до n на 5 делятся [n/5]. Но некоторые из них делятся и на 25, что даёт дополнительный вклад в показатель степени при 5. Их там [n/25], и так далее. Потом пойдут числа, делящиеся на 5^3, и так далее. Сам принцип тут простой, а равенство частенько используется.

(17 Фев '18 19:04) falcao

@falcao, вопрос по доказательству. В моем случае ведь получается $%m=5^{k-1}+5^{k-2}+...+5+1=\frac{5^k-1}{4}$%. Если подставить в то, что необходимо доказать, то получим $%5^k-1 \le n-\frac{n}{5^k}%$%. А как поступать дальше?

(17 Фев '18 19:29) sobolevaekat...

@sobolevaekat...: про [n/5] мы не знаем, что это число равно 5^{k-1}. Оно вполне может оказаться и больше (вплоть до 5^k-1). Поэтому равенство для m неверно. Однако [x]<=x для всякого x, поэтому будет верно неравенство m<=n/5+n/25+...+n/5^k. А тогда после суммирования членов геометрической прогрессии получается ровно то, что нужно.

(17 Фев '18 19:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×878
×460

задан
17 Фев '18 15:41

показан
384 раза

обновлен
17 Фев '18 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru