Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых уравнение

$% \frac{5a (9+x^2)-30a \sqrt{9+x^2}+5}{9+x^2-6\sqrt{9+x^2}}-2=0. $%

имеет ровно два различных решения.

задан 17 Фев '18 15:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Напрашивается замена переменных $%z=9+x^2-6\sqrt{9+x^2}$%. Каждое решение $%z$% нового уравнения $%\frac{5az+5}z-2=0$% даёт $%(\sqrt{9+x^2}-3)^2=z+9$%, откуда $%z\ge-9$%, и $%\sqrt{9+x^2}-3=\sqrt{z+9}$%, так как левая часть неотрицательна. Должно получиться два различных решения вида $%\pm x$% для исходного уравнения. Ясно тогда, что $%z > -9$%, причём это условие является достаточным при $%z\ne0$%.

Теперь $%\frac5z=2-5a$% даёт $%a\ne\frac25$% и $%z=\frac5{2-5a} > -9$% (понятно, что $%z$% отлично от нуля). Получается $%\frac{45a-23}{5a-2} > 0$%, то есть $%a\in(-\infty;\frac25)\cup(\frac{23}{45};\infty)$%.

ссылка

отвечен 17 Фев '18 18:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516

задан
17 Фев '18 15:45

показан
228 раз

обновлен
17 Фев '18 18:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru