alt text

задан 18 Фев '18 16:25

Аналогичные действия из этого Вашего топика не проходят?...

(18 Фев '18 17:01) all_exist

@all_exist: У меня не получилось.

(18 Фев '18 17:26) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
7

Неравенство Йенсена для $$\frac{\sqrt x}{1+x}$$

ссылка

отвечен 18 Фев '18 18:04

10|600 символов нужно символов осталось
8

$$\dfrac{a}{1+a^2}=\dfrac{a}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+a^2} \le\dfrac{a}{4\sqrt[4]{\frac{a^2}{27}}}=\dfrac{\sqrt[4]{27}}{4}\sqrt[4]{{a^2}}$$

$$\Leftrightarrow \ ... \le \dfrac{\sqrt[4]{27}}{4}(\sqrt[4]{a^2}+\sqrt[4]{b^2}+\sqrt[4]{c^2})\le \dfrac{\sqrt[4]{27}}{4}\cdot3\sqrt[4]{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$

ссылка

отвечен 18 Фев '18 22:56

10|600 символов нужно символов осталось
7

Мой любимый тригонометрический метод) Заменим $%a,b,c$% на $%tg\alpha , tg\beta, tg\gamma$% . Тогда $$tg^2 \alpha + tg^2 \beta +tg^2 \gamma =1$$ , откуда $$\frac{1}{cos^2 \alpha} + \frac{1}{cos^2 \beta} +\frac{1}{cos^2 \gamma} =4$$. Дальше применим неравество между средним арифметическим и средним гармоническим: $$cos^2 \alpha + cos^2 \beta +cos^2 \gamma \ge \frac{9}{\frac{1}{cos^2 \alpha} + \frac{1}{cos^2 \beta} +\frac{1}{cos^2 \gamma}} =\frac{9}{4}$$ . Тогда $$cos 2 \alpha + cos 2 \beta +cos 2 \gamma=2(cos^2 \alpha + cos^2 \beta +cos^2 \gamma)-3 \ge \frac{3}{2}$$ . Также легко проверить, что $$(sin 2 \alpha + sin 2 \beta +sin 2 \gamma)^2= 3+2(cos 2( \alpha - \beta)+cos 2( \alpha - \gamma)+cos 2( \gamma - \beta)) - (cos 2 \alpha + cos 2 \beta +cos 2 \gamma)^2 $$ . Применив к этому равенству уже полученное неравнество, а также неравенство $$cos 2( \alpha - \beta)+cos 2( \alpha - \gamma)+cos 2( \gamma - \beta)\le 3$$ , получим $$sin 2 \alpha + sin 2 \beta +sin 2 \gamma \le \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$. Последнее неравенство эквивалентно неравенству из условия задачи.

ссылка

отвечен 18 Фев '18 18:36

изменен 18 Фев '18 18:57

@Witold2357: Рад, что Вы зарегистрировались на этом форуме.

(18 Фев '18 20:11) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238

задан
18 Фев '18 16:25

показан
556 раз

обновлен
18 Фев '18 22:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru