Доказать, что группы порядка $%2p$% или циклические или диэдральные.

задан 18 Фев '18 23:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь имеется в виду, что p простое.

При p=2 получается Z(4) или Z(2)xZ(2). Пусть p > 2. Если в группе есть элемент порядка 2p, то она циклическая. Пусть его нет. По лемме Коши (слабая форма теоремы Силова), в группе найдётся элемент a порядка p. Пусть b -- произвольный элемент не из циклической подгруппы элемента a. Тогда G состоит из элементов e, a, ... ,a^{p-1}, b, ba, ... , ba^{p-1}, где a^p=e.

Рассмотрим элемент b^2. Он не равен никакому элементу второй половины списка. Значит, b^2=a^k при некотором 0<=k < p. Если k не равно 0, то a есть степень b ввиду простоты числа p. Тогда b коммутирует с a. В этом случае группа абелева. В ней есть элемент порядка 2, и тогда в произведении с a получится элемент порядка 2p -- противоречие.

Отсюда следует, что b^2=e. Это верно для любого элемента второй половины списка, так как каждый из них может быть взят в качестве b. В частности, (ba)^2=e, то есть ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba^{-1}. Соотношения a^p=e, b^2=e, ab=ba^{-1} однозначно задают таблицу умножения элементов. При этом получается группа, изоморфная диэдральной группе D_p. В качестве a берётся поворот на угол 2п/p; в качестве b -- любая из осевых симметрий.

ссылка

отвечен 18 Фев '18 23:59

Как из простоты p следует, что а есть степень b? Почему тогда есть элемент порядка 2?

Почему в качестве b может быть взят любой элемент второй половины списка? Аргумент-то проводился для b. Если вместо b взять ba^m и рассмотреть (ba^m)^2, то я не вижу, почему абелевость и т.д. сохранится.

(19 Фев '18 1:08) Slater

@Slater: из простоты p следует, что все элементы a,a^2,...,a^{p-1} имеют порядок p. Поэтому каждый из них есть степень другого. Если b^2=a^k при 1<=k<=p-1, то a будет степенью a^k, а потому и b.

Элемент порядка 2 есть по той же лемме Коши, так как порядок группы чётен. Это можно и совсем элементарно доказать.

Про b у меня изначально было сказано, что это любой элемент не из циклической подгруппы a. Элемент c=ba^m обладает таким же свойством с точностью до переобозначения. Поэтому c^2=e по той же причине, что и b^2=e.

(19 Фев '18 1:15) falcao

А почему случай p=2 рассматривается отдельно?

(19 Фев '18 1:55) Slater

@Slater: я думаю, он не имелся в виду, а подразумевалось, что p -- простое нечётное. Но я его заодно упомянул. Отличие в том, что среди фигур нет "2-угольника" :)

(19 Фев '18 2:02) falcao

Я сейчас перечитывал док-во в связи с math.hashcode.ru/questions/158326/ и возник вопрос- почему порядок xa равен 2, где порядок x равен 2? xaxa=x^2a^2=a^2, но a^2 не равно 1.

(6 Авг '18 2:28) Slater

@Slater: xaxa равно xxaa <=> ax=xa. Но здесь элементы не коммутируют.

(6 Авг '18 9:31) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
18 Фев '18 23:49

показан
465 раз

обновлен
6 Авг '18 9:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru