Рассмотрим группу $%C_4\times C_4$% с образующими $%x,y$%. Пусть $%H$% - подгруппа порожденная $%x^2y^2$%. Построить явно изоморфизм между $%C_2\times C_4$% и $%(C_4\times C_4)/ H$%

задан 19 Фев '18 1:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Проще всего это сделать при помощи теоремы о гомоморфизмах. Построим сначала гомоморфизм из < x > x < y > в G=Z(2)xZ(4) с образующими a,b. Нам при этом надо, чтобы (xy)^2 перешёл в единицу.

Любое отображение множества {x,y} в G продолжается до гомоморфизма прямого произведения, так как все элементы группы G в 4-й степени равны единице. То есть сначала посылаем x куда угодно, продолжаем до гомоморфизма из < x > в G. Потом так же точно строим гомоморфизм из < y > в G. По ним строится гомоморфизм прямого произведения в G.

Полагаем x->ab, y->b. Понятно, что это даёт сюръекцию f, так как образующие a,b принадлежат образу. При этом xy->ab^2, и квадрат xy перейдёт в единицу. Значит, (xy)^2 лежит в ядре. Пропускаем гомоморфизм через факторгруппу по H = < (xy)^2 >. Она имеет порядок 8, и образ ввиду сюръективности тоже имеет порядок 8. Значит, получился изоморфизм. Его ядро тривиально, откуда следует, что ядро f совпадает с H.

Таким образом, g(xH)=ab, g(yH)=b даёт изоморфизм g факторгруппы Z(4)xZ(4)/H на G.

ссылка

отвечен 19 Фев '18 1:33

А можно ли так - образ f имеет порядок 8, поэтому ядро имеет порядок 2, поэтому оно равно N, и по теореме о гомоморфизмах фактор изоморфен C2xC4?

(19 Фев '18 5:52) Slater

@Slater: здесь требуется построить явный вид изоморфизма. Поэтому такого рода соображения мало: мы не только должны знать, чему изоморфна факторгруппа, но и доказать, что построенное отображение есть изоморфизм. В принципе, если в Z4xZ4 есть какая-то подгруппа, изоморфная Z2 (не Z2x{e} или {e}xZ2, а именно "какая-то"), то из общей классификации вытекает, что она изоморфна Z2xZ4, так как это не Z8 (ввиду элемента порядка 8), и не Z2xZ2xZ2 (которая не порождается двумя элементами).

(19 Фев '18 9:04) falcao

Но если мы знаем, что ядро f совпадает с N, то мы знаем, что гомоморфизм пропускания (который задается явной формулой) через фактор - изоморфизм, так что вроде это тоже явно.

(19 Фев '18 20:33) Slater

@Slater: эта задача по своей сути не очень сложная, поэтому можно делать по-разному. Но я обращаю внимание на то, что при использовании классификационных фактов, может потеряться "явность" конструкции. Мало знать, что факторгруппа изоморфна Z2xZ4. Надо ещё знать конкретные элементы, порождающие прямые множители. Правда, их тут легко угадать изначально. Но в целом это мало что меняет.

(19 Фев '18 23:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
19 Фев '18 1:16

показан
226 раз

обновлен
19 Фев '18 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru